Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί›1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί

§1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

⚡Ορισμός δύναμης

•
Το γινόμενο α · α · α · … $\cdot α που$ έχει ν παράγοντες ίσους με α λέγεται δύναμη του α στη ν (νιοστή δύναμη) και συμβολίζεται $α^{n}$ . $α^{n} = α \cdot α \cdot α \cdot \dots \cdot α (ν παρ \overset{α}{ˊ} γοντες)$
💡 Παράδειγμα:
$2^{4} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$
▶️ Ν παράγοντες (π.χ. 2 · 2 · 2 · 2) ενώνονται στο αποτέλεσμα 2⁴ = 16
2⁴
2
·2
·2
·2
Πάτα ▶ για να δεις τι σημαίνει 2^4.
Ταχύτητα
•
Ο αριθμός α λέγεται βάση της δύναμης και ο ν εκθέτης.
💡 Παράδειγμα:
$Στο 3^{5} : β \overset{α}{ˊ} ση = 3, εκθ \overset{ε}{ˊ} της = 5.$

📐Ειδικές δυνάμεις

•
Το $α^{2}$ λέγεται τετράγωνο του α.
💡 Παράδειγμα:
$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25.$
•
Το $α^{3}$ λέγεται κύβος του α.
💡 Παράδειγμα:
$4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64.$
•
Η πρώτη δύναμη ενός αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός. $α^{1} = α$
💡 Παράδειγμα:
$7^{1} = 7.$
•
Όλες οι δυνάμεις του 1 ισούνται με 1. $1^{n} = 1$
💡 Παράδειγμα:
$1^{5} = 1, 1^{100} = 1.$

🧮Προτεραιότητα πράξεων

•
Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται με σύμβολα πράξεων.
•
Η σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι: (1) Δυνάμεις → (2) Πολλαπλασιασμοί & διαιρέσεις → (3) Προσθέσεις & αφαιρέσεις.
•
Αν υπάρχουν παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα σ' αυτές, με την ίδια σειρά προτεραιότητας.
💡 Παράδειγμα:
$4 \cdot (7 + 7 \cdot 9) + 20 \to πρ \overset{ω}{ˊ} τα : 7 \cdot 9 = 63 \to 7 + 63 = 70 \to 4 \cdot 70 + 20 = 300.$
•
Το αποτέλεσμα μετά την εκτέλεση όλων των πράξεων λέγεται τιμή της αριθμητικής παράστασης.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στη δύναμη

3^{5}

, το 3 είναι η βάση και το 5 ο εκθέτης.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(6 + 5)^{2} = 6^{2} + 5^{2}

3Σωστό / Λάθος

Σε μια αριθμητική παράσταση, οι δυνάμεις υπολογίζονται πριν από τους πολλαπλασιασμούς.

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο κάνει

2^{4}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο κάνει 3 ·

5^{2}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο κάνει 1

0^{3}

;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται η τιμή μιας δύναμης

α^{n}

Βήματα

1Γράψε τη δύναμη ως γινόμενο ν ίσων παραγόντων α.
2Πολλαπλασίασε διαδοχικά τους παράγοντες.
3Πρόσεξε: ο εκθέτης λέει ΠΟΣΕΣ φορές — όχι «βάση επί εκθέτη».

Παράδειγμα

2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 (\overset{ο}{ˊ} χι 2 \cdot 5 = 10)

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσεις: 2¹, $2^{2}$ , $2^{3}$ , $2^{4}$ , $2^{5}$ .
2
Να υπολογίσεις τα τετράγωνα: 1 $0^{2}$ , 2 $0^{2}$ , 3 $0^{2}$ .
3
Να υπολογίσεις τους κύβους: 1 $0^{3}$ , 2 $0^{3}$ .
4
Να γράψεις ως δύναμη το γινόμενο 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7.
5
Να κάνεις τις πράξεις: 3 · $5^{2}$ .
6
Να κάνεις τις πράξεις: (3 · 5)².
7
Να κάνεις τις πράξεις: 3 · $5^{2}$ + $2^{2}$ .
8
Να υπολογίσεις: $3^{2}$ + $3^{3}$ + $2^{3}$ + $2^{4}$ .
9
Να υπολογίσεις την παράσταση 4 · (7 + 7 · 9) + 20.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να συγκρίνεις τις παραστάσεις (3 + 6)² και

3^{2}

6^{2}

. Τι παρατηρείς;

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να υπολογίσεις την παράσταση

2^{3}

· 5 −

4^{2}

+ (10 − 2 · 3)².

Χρησιμοποιώντας τα ψηφία 1, 2, 3, 4 με αυτή τη σειρά και τα σύμβολα + και ·, να σχηματίσεις παράσταση με τιμή 15.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται οι παραστάσεις

A = 2^{4} + 3^{2}

και

B = (2 + 3)^{2}

α) Να υπολογίσεις την τιμή της Α.

β) Να υπολογίσεις την τιμή της Β.

γ) Βρήκαμε

A = B

. Σημαίνει αυτό ότι πάντα ισχύει

2^{4} + 3^{2} = (2 + 3)^{2}

; Να δικαιολογήσεις.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.3 — Δυνάμεις φυσικών αριθμών

Ύλη: §1.3Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Ισχύει

α^{1} = α

για κάθε φυσικό α.

β) Ισχύει

2^{5} = 2 \cdot 5 = 10

γ) Σε παράσταση χωρίς παρενθέσεις, οι δυνάμεις γίνονται πριν από τους πολλαπλασιασμούς.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

Π = 4^{2} + 3 \cdot 2^{3}

α) Να υπολογίσεις την τιμή της Π.

β) Να γράψεις ως δύναμη το γινόμενο 6 · 6 · 6 · 6.

ΘΕΜΑ Γ

Ένα κουτί έχει σχήμα κύβου με ακμή 5 cm.

α) Πόσος είναι ο όγκος του; (ο όγκος κύβου είναι η ακμή στην τρίτη δύναμη)

β) Αν διπλασιάσουμε την ακμή σε 10 cm, πόσος γίνεται ο όγκος;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔋 Quiz · Δυνάμεις & Ρίζες

← Προηγούμενο

1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Επόμενο →

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα