Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί›1.4 Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί

§1.4 Ευκλείδεια Διαίρεση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📐Ορισμός

•
Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: $Δ = δ \cdot π + υ$
💡 Παράδειγμα:
$31 = 4 \cdot 7 + 3 \to διαιρ \overset{ω}{ˊ} ντας τ ο 31 μ ε τ ο 4, πα \overset{ι}{ˊ} ρνουμε πηλ \overset{ι}{ˊ} κο 7 και υπ \overset{ο}{ˊ} λοιπο 3.$
❓ Γιατί:Είναι ο αντίστροφος του πολλαπλασιασμού: όταν χωρίζουμε το Δ σε ίσες ομάδες των δ, παίρνουμε π πλήρεις ομάδες και περισσεύουν υ μονάδες που δεν αρκούν για άλλη ομάδα.
📎 Δες και:
•
Ο αριθμός Δ λέγεται διαιρετέος, ο δ διαιρέτης, ο π πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης.
💡 Παράδειγμα:
$Στο 31 = 4 \cdot 7 + 3 : Δ = 31, δ = 4, π = 7, υ = 3.$

⚙️Ιδιότητες

•
Το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη: $υ < δ$
💡 Παράδειγμα:
Σε διαίρεση με 7, τα δυνατά υπόλοιπα είναι 0, 1, 2, 3, 4, 5 ή 6 — ποτέ 7 ή παραπάνω.
❓ Γιατί:Αν το υπόλοιπο ήταν ίσο ή μεγαλύτερο του διαιρέτη, θα μπορούσαμε να χωρέσουμε ακόμα μία πλήρη ομάδα — άρα το πηλίκο που υπολογίσαμε δεν θα ήταν το μεγαλύτερο δυνατό.
•
Η διαίρεση της παραπάνω μορφής λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση.
•
Αν το υπόλοιπο υ είναι 0, τότε έχουμε τέλεια διαίρεση: $Δ = δ \cdot π$
💡 Παράδειγμα:
$12 = 4 \cdot 3 + 0 \to τ \overset{ε}{ˊ} λεια δια \overset{ι}{ˊ} ρεση : 12 : 4 = 3 ακριβ \overset{ω}{ˊ} ς .$
•
Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι πράξη αντίστροφη του πολλαπλασιασμού: αν $Δ = δ \cdot π$ τότε Δ : $δ = π$ ή Δ : $π = δ$ .
💡 Παράδειγμα:
$Αν 8 \cdot 5 = 40, τ \overset{ο}{ˊ} τε 40 : 8 = 5 και 40 : 5 = 8.$

⚠️Ειδικές περιπτώσεις

•
Ο διαιρέτης δ μιας διαίρεσης δεν μπορεί να είναι 0. $δ \neq = 0$
•
Όταν $Δ = δ$ , τότε το πηλίκο είναι 1. $α : α = 1$
💡 Παράδειγμα:
$7 : 7 = 1.$
•
Όταν ο διαιρέτης είναι 1, τότε το πηλίκο είναι ο διαιρετέος. $α : 1 = α$
💡 Παράδειγμα:
$15 : 1 = 15.$
•
Όταν ο διαιρετέος είναι 0, τότε το πηλίκο είναι 0. $0 : α = 0$
💡 Παράδειγμα:
$0 : 9 = 0.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε κάθε Ευκλείδεια διαίρεση, το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.

2Σωστό / Λάθος

Ο διαιρέτης μιας διαίρεσης μπορεί να πάρει την τιμή 0.

3Σωστό / Λάθος

Αν το υπόλοιπο μιας διαίρεσης είναι 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια.

4Πολλαπλής επιλογής

Στην ισότητα

47 = 6 \cdot 7 + 5

, ποιος αριθμός είναι το υπόλοιπο;

5Πολλαπλής επιλογής

Σε μια διαίρεση με διαιρέτη 6, ποιος αριθμός ΔΕΝ μπορεί να είναι υπόλοιπο;

6Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω ισότητες εκφράζει τέλεια διαίρεση;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοga-1.4-e1
Σε μια τέλεια διαίρεση, ο διαιρέτης είναι 23 και το πηλίκο 17. Να βρεις τον διαιρετέο.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Σε τέλεια διαίρεση $Δ = δ \cdot π$ .
2. 2
  Άρα $Δ = 23 \cdot 17 = 391$ .
2Μεσαίοga-1.4-m1
Μια πλευρά φράχτη οικοπέδου έχει 8 κολώνες που ισαπέχουν. Το συνολικό μήκος είναι 56 μέτρα. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κολωνών;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Οι 8 κολώνες δημιουργούν 7 διαστήματα.
2. 2
  Άρα απόσταση $= 56$ : $7 = 8$ μέτρα.
3Εύκολοga-1.4-e4
Να κάνεις την Ευκλείδεια διαίρεση 243:7 και να γράψεις την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.
Λύση βήμα-βήμα
$243 = 7 \cdot 34 + 5, π = 34, υ = 5$ .
4Μεσαίοga-1.4-m2
Αν σήμερα είναι Κυριακή, τι μέρα θα είναι μετά από 348 μέρες;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $348 = 7 \cdot 49 + 5$ .
2. 2
  Μετά από 5 μέρες από Κυριακή είναι Παρασκευή.
5Μεσαίοga-1.4-m3
Σε πόσες αυγοθήκες των 6 θέσεων μπορούμε να συσκευάσουμε 110 αυγά και πόσα αυγά θα μείνουν εκτός;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $110 = 6 \cdot 18 + 2$ .
2. 2
  Άρα 18 πλήρεις αυγοθήκες και 2 αυγά εκτός.
6Εύκολοga-1.4-e2
Σε τέλεια διαίρεση ο διαιρετέος είναι 408 και το πηλίκο 24. Να βρεις τον διαιρέτη.
Λύση βήμα-βήμα
$δ = \frac{Δ}{π} = \frac{408}{24} = 17$ .
7Εύκολοga-1.4-e3
Να κάνεις την Ευκλείδεια διαίρεση 92:25 και να γράψεις την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.
Λύση βήμα-βήμα
$92 = 25 \cdot 3 + 17$ , με $π = 3$ και $υ = 17$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοga-1.4-m2
Αν σήμερα είναι Κυριακή, τι μέρα θα είναι μετά από 348 μέρες;
2Δύσκολοga-1.4-h1
Για ένα δοχείο λάδι και 3 κιλά τυρί πληρώσαμε 41€, ενώ για το ίδιο λάδι και 7 κιλά τυρί θα πληρώναμε 73€. Πόσο κοστίζει το λάδι και πόσο το ένα κιλό τυρί;
3Μεσαίοga-1.4-m1
Μια πλευρά φράχτη οικοπέδου έχει 8 κολώνες που ισαπέχουν. Το συνολικό μήκος είναι 56 μέτρα. Πόση είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κολωνών;
4Δύσκολοga-1.4-h2
Να βρεις όλους τους φυσικούς αριθμούς που, διαιρούμενοι με το 4, δίνουν πηλίκο 8.
5Μεσαίοga-1.4-m3
Σε πόσες αυγοθήκες των 6 θέσεων μπορούμε να συσκευάσουμε 110 αυγά και πόσα αυγά θα μείνουν εκτός;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται «κάνε τη διαίρεση Δ : δ και γράψε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης».

Βήματα

1Κάνε τη διαίρεση για να βρεις το πηλίκο π.
2Υπολόγισε το υπόλοιπο: $υ = Δ - δ \cdot π$ .
3Έλεγξε ότι $υ < δ$ (αλλιώς το πηλίκο δεν είναι το σωστό).
4Γράψε την ισότητα $Δ = δ \cdot π + υ$ .

Παράδειγμα

92 : 25→

π = 3, υ = 92 - 75 = 17

Άρα

92 = 25 \cdot 3 + 17

(με 17 < 25).

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να κάνεις την Ευκλείδεια διαίρεση 100 : 7 και να γράψεις την ισότητα.
2
Σε τέλεια διαίρεση ο διαιρέτης είναι 12 και το πηλίκο 9. Να βρεις τον διαιρετέο.
3
Σε μια διαίρεση ισχύει $δ = 15, π = 6$ και $υ = 4$ . Να βρεις τον διαιρετέο Δ.
4
Ποια είναι όλα τα δυνατά υπόλοιπα μιας διαίρεσης με διαιρέτη 8;
5
Αν σήμερα είναι Δευτέρα, τι μέρα θα είναι μετά από 100 μέρες;
6
Σε πόσα κουτιά των 9 μπαίνουν 200 μπάλες και πόσες περισσεύουν;
7
Να βρεις τον φυσικό Ν που, διαιρούμενος με το 6, δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 5.
8
Είναι ο 504 πολλαπλάσιο του 14;
9
Διαιρούμε έναν φυσικό με το 5 και βρίσκουμε πηλίκο 8. Ποιοι είναι όλοι οι δυνατοί διαιρετέοι;

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Διαιρούμε έναν φυσικό Ν με το 7 και βρίσκουμε υπόλοιπο 4. Αν αυξήσουμε τον Ν κατά 10, ποιο γίνεται το νέο υπόλοιπο;

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις όλους τους φυσικούς που, διαιρούμενοι με το 9, δίνουν πηλίκο ίσο με το υπόλοιπο.

Ο διαιρετέος μιας διαίρεσης είναι 59 και το πηλίκο 7. Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο διαιρέτης δ;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται ο φυσικός αριθμός 158.

α) Να κάνεις την Ευκλείδεια διαίρεση 158 : 12 και να γράψεις την ισότητά της.

β) Πόσο το λιγότερο πρέπει να αυξηθεί ο 158 ώστε να διαιρείται ακριβώς με το 12;

γ) Πόσο το λιγότερο πρέπει να μειωθεί ο 158 ώστε να διαιρείται ακριβώς με το 12;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.4 — Ευκλείδεια Διαίρεση

Ύλη: §1.4Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Σε κάθε διαίρεση ισχύει

υ < δ

β) Η ισότητα

30 = 7 \cdot 4 + 2

είναι Ευκλείδεια διαίρεση.

γ) Σε διαίρεση με διαιρέτη 5, το υπόλοιπο μπορεί να είναι 5.

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι αριθμοί 235 και 9.

α) Να κάνεις την Ευκλείδεια διαίρεση 235 : 9 και να γράψεις την ισότητα.

β) Είναι ο 235 πολλαπλάσιο του 9; Να δικαιολογήσεις.

ΘΕΜΑ Γ

Σε ένα θέατρο οι θεατές κάθονται σε σειρές των 8.

α) Αν έρθουν 100 θεατές, πόσες πλήρεις σειρές γεμίζουν και πόσοι θεατές περισσεύουν;

β) Πόσοι το λιγότερο θεατές πρέπει να έρθουν επιπλέον ώστε να γεμίσουν ακριβώς οι σειρές;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών

Επόμενο →

1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων