Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί›1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Οι Φυσικοί αριθμοί

§1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας — ΜΚΔ — ΕΚΠ

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔢Πολλαπλάσια

•
Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του α με όλους τους φυσικούς αριθμούς: $0, α, 2 α, 3 α, 4 α, \dots$
💡 Παράδειγμα:
Πολλαπλάσια του 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …
•
Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.
•
Κάθε φυσικός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του.
•
Αν ένας φυσικός διαιρεί έναν άλλον, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του.
💡 Παράδειγμα:
Το 3 διαιρεί το 12.Άρα διαιρεί και τα 24, 36, 48, … (πολλαπλάσια του 12).

✨Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ)

•
Το μικρότερο $(\neq = 0)$ από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών το ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ).
💡 Παράδειγμα:
$Κοιν \overset{α}{ˊ} πολλαπλ \overset{α}{ˊ} σια των 4 και 6 : 12, 24, 36, \dots \to ΕΚΠ (4, 6) = 12.$

📦Διαιρέτες & Πρώτοι αριθμοί

•
Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται όλοι οι αριθμοί που τον διαιρούν.
💡 Παράδειγμα:
Διαιρέτες του 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
•
Κάθε αριθμός α έχει πάντα διαιρέτες τους 1 και α.
•
Ένας αριθμός (εκτός του 1) που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος αριθμός. Διαφορετικά λέγεται σύνθετος.
💡 Παράδειγμα:
$Πρ \overset{ω}{ˊ} τοι : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots \cdot Σ \overset{υ}{ˊ} νθετοι : 4, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$

🎯Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ)

•
Δύο αριθμοί α, β μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης και συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β).
💡 Παράδειγμα:
$Κοινο \overset{ι}{ˊ} διαιρ \overset{ε}{ˊ} τες των 12 και 18 : 1, 2, 3, 6 \to ΜΚΔ (12, 18) = 6.$
•
Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν είναι: $ΜΚΔ (α, β) = 1$
💡 Παράδειγμα:
Οι 15 και 8 είναι πρώτοι μεταξύ τους: $ΜΚΔ (15, 8) = 1$ (μόνο το 1 τους διαιρεί και τους δύο).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός 1 είναι πρώτος.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

ΕΚΠ (4, 6) = 12

3Σωστό / Λάθος

Αν

ΜΚΔ (α, β) = 1

, οι α, β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους.

4Πολλαπλής επιλογής

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς διαιρείται με το 3;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το ΜΚΔ(12, 18);

6Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η ανάλυση του 60 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοga-1.5-m1
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον αριθμό 108.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$108 = 2 \cdot 54 = 2 \cdot 2 \cdot 27 = 2^{2} \cdot 3^{3}$ .
2Μεσαίοga-1.5-m2
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον αριθμό 880.
Λύση βήμα-βήμα
$880 = 2 \cdot 440 = 2^{2} \cdot 220 = 2^{3} \cdot 110 = 2^{4} \cdot 55 = 2^{4} \cdot 5 \cdot 11$ .
3Εύκολοga-1.5-e4
Να βρεις το ΕΚΠ(8, 12).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $8 = 2^{3}, 12 = 2^{2} \cdot 3$ .
2. 2
  $ΕΚΠ = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .
4Μεσαίοga-1.5-m3
Να βρεις το ΕΚΠ(96, 330).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $96 = 2^{5} \cdot 3, 330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$ .
2. 2
  $ΕΚΠ = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 5280$ .
5Εύκολοga-1.5-e2
Να βρεις τα πολλαπλάσια του 17 που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 20 και 100.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πολλαπλάσια: $17 \cdot 2 = 34, 17 \cdot 3 = 51, 17 \cdot 4 = 68, 17 \cdot 5 = 85$ .
2. 2
  Άρα 34, 51, 68, 85.
6Μεσαίοga-1.5-m4
Να βρεις τον ΜΚΔ(120, 144, 160).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5, 144 = 2^{4} \cdot 3^{2}, 160 = 2^{5} \cdot 5$ .
2. 2
  $ΜΚΔ = 2^{3} = 8$ .
7Μεσαίοga-1.5-m5
Σε ποια από τα ζεύγη οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους: (4, 6), (3, 8), (9, 12), (8, 15);
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρώτοι μεταξύ τους είναι όσοι έχουν $ΜΚΔ = 1$ .
2. 2
  Άρα: (3, 8) και (8, 15).
8Εύκολοga-1.5-e3
Να βρεις το ΕΚΠ των αριθμών 5, 10 και 20.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το 20 είναι πολλαπλάσιο των 5 και 10.
2. 2
  Άρα $ΕΚΠ (5, 10, 20) = 20$ .
9Εύκολοga-1.5-e5
Να βρεις τον ΜΚΔ των αριθμών 8 και 12.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $8 = 2^{3}, 12 = 2^{2} \cdot 3$ .
2. 2
  $ΜΚΔ = 2^{2} = 4$ .
10Εύκολοga-1.5-e1
Είναι το 377 πολλαπλάσιο του 13;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  377: $13 = 29$ ακριβώς.
2. 2
  Ναι, είναι πολλαπλάσιο $(377 = 13 \cdot 29)$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοga-1.5-m2
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον αριθμό 880.
2Μεσαίοga-1.5-m1
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων τον αριθμό 108.
3Μεσαίοga-1.5-m4
Να βρεις τον ΜΚΔ(120, 144, 160).
4Μεσαίοga-1.5-m5
Σε ποια από τα ζεύγη οι αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους: (4, 6), (3, 8), (9, 12), (8, 15);
5Δύσκολοga-1.5-h1
Η Μαρία παίζει τένις κάθε 4 μέρες, ο Γιάννης κάθε 5 μέρες, η Άννα κάθε 8 μέρες. Αν σήμερα παίζουν και οι τρεις μαζί, μετά από πόσες μέρες θα συμβεί το ίδιο;
6Δύσκολοga-ep-h3
Να αναλύσεις σε γινόμενα πρώτων παραγόντων τους αριθμούς 120, 160, 136 και να βρεις τον ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους.
7Μεσαίοga-1.5-m3
Να βρεις το ΕΚΠ(96, 330).
8Δύσκολοga-1.5-h2
Ένας ανθοπώλης έχει 90 άσπρα, 120 κόκκινα και 150 ροζ γαρύφαλλα. Πόσες ίδιες ανθοδέσμες το πολύ μπορεί να φτιάξει χωρίς να περισσέψουν λουλούδια; Πόσα λουλούδια από κάθε είδος θα έχει η καθεμία;
9Δύσκολοga-1.5-h3
Να βρεις τον μικρότερο φυσικό αριθμό που όταν διαιρεθεί με το 2, 3, 4, 5 αφήνει κάθε φορά υπόλοιπο 1.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ρωτάει «διαιρείται με το 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25;» χωρίς να κάνεις τη διαίρεση.

Βήματα

1Με το 2: το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8 (άρτιος).
2Με το 5: το τελευταίο ψηφίο είναι 0 ή 5.
3Με το 10: το τελευταίο ψηφίο είναι 0.
4Με το 4: ο αριθμός από τα δύο τελευταία ψηφία διαιρείται με το 4 (ή λήγει σε 00).
5Με το 25: τα δύο τελευταία ψηφία είναι 00, 25, 50 ή 75.
6Με το 3: το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3.
7Με το 9: το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 9.

Παράδειγμα

Ο 1.728: λήγει σε 8→διαιρείται με 2.

Άθροισμα ψηφίων

1 + 7 + 2 + 8 = 18

→με 3 και με 9.

Δύο τελευταία ψηφία 28→με 4.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρεις το ΕΚΠ(8, 12).
2
Να βρεις το ΜΚΔ(30, 36).
3
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων το 72.
4
Να αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων το 200.
5
Είναι οι αριθμοί 15 και 8 πρώτοι μεταξύ τους;
6
Ποια από τα ζεύγη είναι πρώτοι μεταξύ τους: (4, 6), (3, 8), (9, 12);
7
Διαιρείται ο αριθμός 4.725 με το 3 και με το 9;
8
Να βρεις τα πολλαπλάσια του 17 που βρίσκονται μεταξύ 20 και 100.
9
Να βρεις το ΕΚΠ(3, 4, 6).

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Η Μαρία παίζει τένις κάθε 4 μέρες, ο Γιάννης κάθε 5 και η Άννα κάθε 8. Αν σήμερα παίζουν και οι τρεις μαζί, μετά από πόσες μέρες θα ξαναπαίξουν ταυτόχρονα;

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Ένας ανθοπώλης έχει 90 άσπρα, 120 κόκκινα και 150 ροζ γαρύφαλλα. Πόσες το πολύ ίδιες ανθοδέσμες μπορεί να φτιάξει χωρίς να περισσέψει λουλούδι, και πόσα λουλούδια κάθε χρώματος θα έχει η καθεμία;

Να βρεις τον μικρότερο φυσικό αριθμό που, όταν διαιρεθεί με το 2, το 3, το 4 και το 5, αφήνει κάθε φορά υπόλοιπο 1.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται οι αριθμοί 180 και 420.

α) Να τους αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

β) Να βρεις το ΜΚΔ(180, 420).

γ) Να βρεις το ΕΚΠ(180, 420).

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.5 — Διαιρετότητα, ΜΚΔ, ΕΚΠ

Ύλη: §1.5Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος, δικαιολογώντας σύντομα.

α) Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.

β) Αν ένας αριθμός λήγει σε 5, τότε διαιρείται με το 2.

γ) Ισχύει

ΜΚΔ (7, 9) = 1

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι αριθμοί 24 και 36.

α) Να τους αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

β) Να βρεις το ΜΚΔ(24, 36) και το ΕΚΠ(24, 36).

ΘΕΜΑ Γ

Δύο φωτεινοί σηματοδότες ανάβουν: ο πρώτος κάθε 12 δευτερόλεπτα και ο δεύτερος κάθε 18. Τώρα ανάβουν μαζί.

α) Μετά από πόσα δευτερόλεπτα θα ξανανάψουν ταυτόχρονα;

β) Πόσες φορές θα έχει ανάψει ο καθένας ως τότε (χωρίς το αρχικό άναμμα);

📝 Επαναληπτικό Διαγώνισμα — Κεφάλαιο 1: Οι Φυσικοί Αριθμοί

Ύλη: §1.1–§1.5Διάρκεια: 45΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Σε κάθε Ευκλείδεια διαίρεση ισχύει

υ < δ

β) Ισχύει

(2 + 3)^{2} = 2^{2} + 3^{2}

γ) Ο αριθμός 1 είναι πρώτος.

δ) Ισχύει

ΕΚΠ (6, 8) = 24

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται ο φυσικός αριθμός 7.486.

α) Να τον στρογγυλοποιήσεις στις πλησιέστερες εκατοντάδες.

β) Να υπολογίσεις την παράσταση

2^{3}

+ 5 · 4 −

3^{2}

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι αριθμοί 48 και 60.

α) Να τους αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

β) Να βρεις το ΜΚΔ και το ΕΚΠ τους.

ΘΕΜΑ Δ

Έχουμε 100 καραμέλες και θέλουμε να τις μοιράσουμε σε σακουλάκια.

α) Αν κάθε σακουλάκι έχει 7 καραμέλες, πόσα γεμάτα σακουλάκια φτιάχνουμε και πόσες καραμέλες περισσεύουν;

β) Πόσες το λιγότερο καραμέλες πρέπει να προσθέσουμε ώστε να μοιραστούν ακριβώς σε σακουλάκια των 7;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

← Προηγούμενο

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση - Διαιρετότητα

Επόμενο →

2.1 Η έννοια του κλάσματος