Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα›Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα

§Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔺Πυθαγόρειο θεώρημα

•
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. $α^{2} = β^{2} + γ^{2}$
💡 Παράδειγμα:
Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4: υποτείνουσ $α^{2}$ $= 9 + 16 = 25$ → υποτείνουσα $= 5$ .
▶️ Οπτική απόδειξη Πυθαγορείου 3-4-5: τρία τετράγωνα στις πλευρές → 9+16=25.
α²=9 + β²=16 = γ²=25 → γ = √25 = 5
Σύρε τις λαβές στις κάθετες (α, β) — το εμβαδόν στην υποτείνουσα ισούται πάντα με το άθροισμα των άλλων δύο.
❓ Γιατί:Γεωμετρικά: το εμβαδόν του τετραγώνου επί της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων επί των δύο κάθετων πλευρών. Η οπτική απόδειξη φαίνεται σε σχήμα με τρία τετράγωνα.
📎 Δες και:
•
Παρατήρηση: το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

↩️Αντίστροφο θεώρημα

•
Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
💡 Παράδειγμα:
$Τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο μ ε πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς 5, 12, 13 : 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2} \to ε \overset{ι}{ˊ} ναι ορθογ \overset{ω}{ˊ} νιο .$
❓ Γιατί:Αυτή την τεχνική χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι με «σκοινί 13 κόμπων» (πλευρές 3-4-5) για να φτιάχνουν ορθές γωνίες σε καλλιέργειες.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

2Σωστό / Λάθος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε κάθε τρίγωνο.

3Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4. Η υποτείνουσα είναι:

4Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 και 8. Η υποτείνουσα είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 13 και μία κάθετη 5. Η άλλη κάθετη είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgb-gpyth-e3
Σε κάθε περίπτωση το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. α) Αν $AB = 9 cm$ και $AΓ = 12 cm$ , να βρεις τη ΒΓ. β) Αν $BΓ = 13 cm$ και $AΓ = 12 cm$ , να βρεις την ΑΒ. γ) Αν $AB = 16 cm$ και $BΓ = 34 cm$ , να βρεις την ΑΓ.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α, άρα κάθετες πλευρές του είναι η ΑΒ και η ΑΓ, ενώ υποτείνουσα είναι η ΒΓ.
2. 2
  α) Ζητάμε την υποτείνουσα, οπότε προσθέτουμε: $B Γ^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225$ , άρα $BΓ = 15 cm$ . β) Τώρα ζητάμε κάθετη πλευρά, οπότε αφαιρούμε από το τετράγωνο της υποτείνουσας: $A B^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25$ , άρα $AB = 5 cm$ . γ) Ομοίως $A Γ^{2} = 3 4^{2} - 1 6^{2} = 1.156 - 256 = 900$ , άρα $AΓ = 30 cm$ . Ο κανόνας για να μην μπερδεύεσαι είναι απλός: η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά, οπότε αν αυτή είναι το ζητούμενο προσθέτεις, ενώ αν είναι δοσμένη αφαιρείς.
3. 3
  Και δεν είναι αυθαίρετος κανόνας: αφού το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων τετραγώνων, είναι μεγαλύτερο από καθένα τους χωριστά, άρα και η ίδια η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά.
2Μεσαίοgb-gpyth-m4
Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλευρές 2 $m$ και 3,5 $m$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η διαγώνιος χωρίζει το ορθογώνιο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν κάθετες πλευρές τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου και υποτείνουσα την ίδια τη διαγώνιο.
2. 2
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ της διαγωνίου είναι $2^{2} + 3, 5^{2} = 4 + 12, 25 = 16, 25$ .
3. 3
  Το ζητούμενο τετράγωνο έχει πλευρά τη διαγώνιο, οπότε το εμβαδόν του είναι ακριβώς αυτός ο αριθμός: 16,25 $m^{2}$ . Το ενδιαφέρον είναι ότι δεν χρειάστηκε καθόλου να βρούμε το μήκος της διαγωνίου, που δεν είναι καν ρητός αριθμός.
4. 4
  Η ερώτηση ζητούσε εμβαδόν, και το εμβαδόν είναι ακριβώς το τετράγωνο που μας δίνει το θεώρημα.
3Μεσαίοgb-gpyth-m8
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών 12 cm, 16 cm και 20 cm. α) Να αποδείξεις ότι είναι ορθογώνιο. β) Να εξετάσεις αν είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές, καθώς και το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Η μεγαλύτερη πλευρά είναι 20 cm. Είναι $1 2^{2} + 1 6^{2} = 144 + 256 = 400$ και $2 0^{2} = 400$ .
2. 2
  Ίσα, άρα από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, με την ορθή γωνία απέναντι από την πλευρά των 20 cm. β) Το τρίγωνο με διπλάσιες πλευρές έχει 24 cm, 32 cm και 40 cm. Είναι $2 4^{2} + 3 2^{2} = 576 + 1.024 = 1.600$ και $4 0^{2} = 1.600$ , άρα και αυτό είναι ορθογώνιο.
3. 3
  Το τρίγωνο με τις μισές πλευρές έχει 6 cm, 8 cm και 10 cm. Είναι $6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ και $1 0^{2} = 100$ , άρα και αυτό είναι ορθογώνιο.
4. 4
  Δεν πρόκειται για σύμπτωση: αν πολλαπλασιάσουμε και τις τρεις πλευρές με τον ίδιο θετικό αριθμό, όλα τα τετράγωνα πολλαπλασιάζονται με το τετράγωνο του αριθμού αυτού, οπότε η ισότητα δεν χαλάει.
4Μεσαίοgb-gpyth-m7
Ένα ράφι ΑΒ στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο, τον οποίο ακουμπά στο άκρο του Β, και συγκρατείται με ένα μεταλλικό στήριγμα ΓΔ. Το Δ είναι σημείο του ραφιού και το Γ σημείο του τοίχου. Ο τεχνίτης μετράει πάνω στο ράφι $BΔ = 24 cm$ , πάνω στον τοίχο $BΓ = 18 cm$ και βρίσκει το στήριγμα $ΓΔ = 31 cm$ . α) Να εξετάσεις αν το ράφι είναι οριζόντιο. β) Πόσο θα έπρεπε να είναι το στήριγμα ώστε να είναι;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  α) Το ράφι θα είναι οριζόντιο μόνο αν είναι κάθετο στον κατακόρυφο τοίχο, δηλαδή μόνο αν η γωνία Β του τριγώνου ΒΓΔ είναι ορθή.
2. 2
  Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι είναι.
3. 3
  Τότε, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, ΘΑ ΕΠΡΕΠΕ να ισχύει $B Δ^{2} + B Γ^{2} = Γ Δ^{2}$ .
4. 4
  Υπολογίζουμε τα δύο μέλη χωριστά.
5. 5
  Το πρώτο: $2 4^{2} + 1 8^{2} = 576 + 324 = 900$ .
6. 6
  Το δεύτερο: $3 1^{2} = 961$ .
7. 7
  Τα δύο αποτελέσματα ΔΕΝ είναι ίσα, οπότε η υπόθεσή μας δεν στέκει: η γωνία Β δεν είναι ορθή και το ράφι δεν είναι οριζόντιο.
8. 8
  β) Για να είναι ορθή η γωνία Β, το τετράγωνο του στηρίγματος πρέπει να ισούται με 900, δηλαδή $ΓΔ = 30 cm$ . Ο τεχνίτης έχει στήριγμα ένα εκατοστό μακρύτερο από όσο χρειάζεται, και αυτό αρκεί για να γείρει το ράφι.
5Εύκολοgb-gpyth-e1
Να υπολογίσεις τη διαγώνιο ορθογωνίου με μήκος 8 cm και πλάτος 6 cm.
Λύση βήμα-βήμα
Διαγώνιος $= 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 cm$ .
6Μεσαίοgb-gpyth-m9
Θέλουμε να συγκρίνουμε τρεις οικισμούς Ε, Δ και Α ως προς την απόστασή τους από την πόλη Β. Ο Ε απέχει 29 km από τη Β και 21 km από τον Δ, και το τρίγωνο ΒΔΕ έχει ορθή γωνία στο Δ. Ο οικισμός Α και η πόλη Β βρίσκονται πάνω σε δύο δρόμους που τέμνονται κάθετα στη διασταύρωση Γ: ο Α απέχει 12 km από τη διασταύρωση και η Β 16 km. Ποιος ή ποιοι από τους τρεις οικισμούς βρίσκονται πλησιέστερα στην πόλη Β;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η απόσταση του Ε από τη Β δίνεται κατευθείαν και είναι 29 km. Για τον Δ δουλεύουμε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΕ.
2. 2
  Η ορθή γωνία είναι στο Δ, άρα υποτείνουσα είναι η $BE = 29 km$ και μία κάθετη πλευρά η $ΔE = 21 km$ . Τότε $B Δ^{2} = 2 9^{2} - 2 1^{2} = 841 - 441 = 400$ , οπότε $BΔ = 20 km$ . Για τον Α δουλεύουμε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΓΑ.
3. 3
  Οι δύο δρόμοι τέμνονται κάθετα, άρα η ορθή γωνία είναι στη διασταύρωση Γ και οι κάθετες πλευρές είναι η $BΓ = 16 km$ και η $ΓA = 12 km$ . Υποτείνουσα είναι η ζητούμενη ΒΑ.
4. 4
  Τότε $B A^{2} = 1 6^{2} + 1 2^{2} = 256 + 144 = 400$ , οπότε $BA = 20 km$ . Συγκρίνοντας τα 29 km, 20 km και 20 km βλέπουμε ότι πλησιέστερα στην πόλη Β βρίσκονται ΔΥΟ οικισμοί, ο Δ και ο Α, που ισαπέχουν από αυτήν.
5. 5
  Πρόσεξε ότι στη μία περίπτωση προσθέσαμε και στην άλλη αφαιρέσαμε, ανάλογα με το πού βρισκόταν η ορθή γωνία: το κρίσιμο δεν είναι ποια πλευρά αναφέρεται πρώτη, αλλά ποια είναι η υποτείνουσα.
7Μεσαίοgb-gpyth-m1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, βάση $= 12 cm$ και ίσες πλευρές $= 10 cm$ . Να βρεις το ύψος και το εμβαδόν.
Λύση βήμα-βήμα
Το ύψος πέφτει στο μέσο της βάσης: $υ = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8 cm$ . Εμβαδόν $= 12 \cdot \frac{8}{2} = 48 cm^{2}$ .
8Εύκολοgb-gpyth-e2
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 5 και 12. Πόση είναι η υποτείνουσα;
Λύση βήμα-βήμα
Υποτείνουσα $= 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
9Μεσαίοgb-gpyth-m6
Η διατομή ενός αρδευτικού καναλιού έχει σχήμα ισοσκελούς τραπεζίου με τις πλάγιες πλευρές ίσες με 2,5 $m$ , τη μικρή βάση 4 $m$ και τη μεγάλη βάση 8 $m$ . Να υπολογίσεις το βάθος $x$ του καναλιού, δηλαδή το ύψος του τραπεζίου.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Φέρνουμε τα δύο ύψη από τα άκρα της μικρής βάσης προς τη μεγάλη.
2. 2
  Έτσι η μεγάλη βάση χωρίζεται σε τρία κομμάτια: δύο ίσα στα άκρα και ένα στη μέση ίσο με τη μικρή βάση, δηλαδή 4 $m$ . Τα δύο άκρα μαζί είναι $8 - 4 = 4 m$ , οπότε το καθένα $\frac{8 - 4}{2} = 2 m$ . Είναι ίσα μεταξύ τους ακριβώς επειδή το τραπέζιο είναι ισοσκελές.
3. 3
  Σχηματίζεται τώρα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα την πλάγια πλευρά 2,5 $m$ και κάθετες πλευρές το κομμάτι των 2 $m$ και το ζητούμενο βάθος.
4. 4
  Από το Πυθαγόρειο θεώρημα $x^{2} = 2, 5^{2} - 2^{2} = 6, 25 - 4 = 2, 25$ , άρα $x = 1, 5 m$ . Πρόσεξε ότι το θεώρημα δουλεύει το ίδιο καλά και με δεκαδικούς αριθμούς.
10Μεσαίοgb-gpyth-m3
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έχουν κατασκευαστεί τετράγωνα και προς τις τρεις πλευρές του. Να βρεις το εμβαδόν του τετραγώνου που λείπει. α) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 169 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 25 $m^{2}$ . β) Τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών έχουν εμβαδά 2,25 $m^{2}$ και 4 $m^{2}$ . γ) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 4 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 1,44 $m^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν μιλάει μόνο για αριθμούς, μιλάει για ΕΜΒΑΔΑ: το τετράγωνο που κατασκευάζεται πάνω στην υποτείνουσα έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων που κατασκευάζονται πάνω στις κάθετες πλευρές.
2. 2
  α) Ζητάμε τετράγωνο κάθετης πλευράς, άρα αφαιρούμε: $169 - 25 = 144 m^{2}$ . β) Ζητάμε το τετράγωνο της υποτείνουσας, άρα προσθέτουμε: $2, 25 + 4 = 6, 25 m^{2}$ . γ) Αφαιρούμε ξανά: $4 - 1, 44 = 2, 56 m^{2}$ . Πρόσεξε ότι στο β) και στο γ) τα εμβαδά είναι δεκαδικοί αριθμοί, κάτι που δεν εμποδίζει καθόλου τη σχέση να ισχύει.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-gpyth-m9
Θέλουμε να συγκρίνουμε τρεις οικισμούς Ε, Δ και Α ως προς την απόστασή τους από την πόλη Β. Ο Ε απέχει 29 km από τη Β και 21 km από τον Δ, και το τρίγωνο ΒΔΕ έχει ορθή γωνία στο Δ. Ο οικισμός Α και η πόλη Β βρίσκονται πάνω σε δύο δρόμους που τέμνονται κάθετα στη διασταύρωση Γ: ο Α απέχει 12 km από τη διασταύρωση και η Β 16 km. Ποιος ή ποιοι από τους τρεις οικισμούς βρίσκονται πλησιέστερα στην πόλη Β;
2Μεσαίοgb-gpyth-m2
Χορδή ΑΒ κύκλου έχει μήκος 20 cm και η απόστασή της από το κέντρο είναι 7 cm. Βρες τη διάμετρο.
3Μεσαίοgb-gpyth-m7
Ένα ράφι ΑΒ στηρίζεται σε κατακόρυφο τοίχο, τον οποίο ακουμπά στο άκρο του Β, και συγκρατείται με ένα μεταλλικό στήριγμα ΓΔ. Το Δ είναι σημείο του ραφιού και το Γ σημείο του τοίχου. Ο τεχνίτης μετράει πάνω στο ράφι $BΔ = 24 cm$ , πάνω στον τοίχο $BΓ = 18 cm$ και βρίσκει το στήριγμα $ΓΔ = 31 cm$ . α) Να εξετάσεις αν το ράφι είναι οριζόντιο. β) Πόσο θα έπρεπε να είναι το στήριγμα ώστε να είναι;
4Μεσαίοgb-gpyth-m3
Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και έχουν κατασκευαστεί τετράγωνα και προς τις τρεις πλευρές του. Να βρεις το εμβαδόν του τετραγώνου που λείπει. α) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 169 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 25 $m^{2}$ . β) Τα τετράγωνα των δύο κάθετων πλευρών έχουν εμβαδά 2,25 $m^{2}$ και 4 $m^{2}$ . γ) Το τετράγωνο της υποτείνουσας έχει εμβαδόν 4 $m^{2}$ και το ένα τετράγωνο κάθετης πλευράς 1,44 $m^{2}$ .
5Δύσκολοgb-gpyth-h3
Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίμετρο 70 $m$ και πλευρές $AB = 3 x + 5, AΓ = 4 x + 1$ και $BΓ = 5 x + 4$ , μετρημένες σε μέτρα. α) Να βρεις τον αριθμό $x$ . β) Να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. γ) Να υπολογίσεις το εμβαδόν του.
6Μεσαίοgb-gpyth-m5
Ένα διακοσμητικό πλακίδιο έχει σχήμα ρόμβου με διαγώνιες 10 cm και 24 cm. Να βρεις την περίμετρο και το εμβαδόν του.
7Μεσαίοgb-gpyth-m8
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη πλευρών 12 cm, 16 cm και 20 cm. α) Να αποδείξεις ότι είναι ορθογώνιο. β) Να εξετάσεις αν είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές, καθώς και το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές.
8Δύσκολοgb-g1.3-h1
Σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 8 cm, να υπολογίσεις το ύψος και το εμβαδόν, με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων.
9Δύσκολοgb-gpyth-h1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, κάθε ίση πλευρά είναι 3 cm μεγαλύτερη από τη βάση. Αν η περίμετρος είναι 36 cm, βρες τις πλευρές, το ύψος και το εμβαδόν.
10Μεσαίοgb-gpyth-m4
Ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ έχει πλευρές 2 $m$ και 3,5 $m$ . Να υπολογίσεις το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με τη διαγώνιο του ορθογωνίου.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🟪 Quiz · Εμβαδά & Πυθαγόρειο Θεώρημα

← Προηγούμενο

Γ.1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων

Επόμενο →

Γ.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας