📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Εμβαδά επίπεδων σχημάτων - Πυθαγόρειο θεώρημα

§Γ.1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα

•
Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας. $α^{2} = β^{2} + γ^{2}$
💡 Παράδειγμα:
Σε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4: υποτείνουσ $α^{2}$ $= 9 + 16 = 25$ ⇔υποτείνουσα $= 5$ .
▶️ Οπτική απόδειξη Πυθαγορείου 3-4-5: τρία τετράγωνα στις πλευρές → 9+16=25.
α²=9 + β²=16 = γ²=25 → γ = √25 = 5
Σύρε τις λαβές στις κάθετες (α, β) — το εμβαδόν στην υποτείνουσα ισούται πάντα με το άθροισμα των άλλων δύο.
❓ Γιατί:Γεωμετρικά: το εμβαδόν του τετραγώνου επί της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων επί των δύο κάθετων πλευρών. Η οπτική απόδειξη φαίνεται σε σχήμα με τρία τετράγωνα.
📎 Δες και:
•
Παρατήρηση: το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

•
Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, τότε η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.
💡 Παράδειγμα:
$Τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο μ ε πλευρ \overset{ε}{ˊ} ς 5, 12, 13 : 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2} \to ε \overset{ι}{ˊ} ναι ορθογ \overset{ω}{ˊ} νιο .$
❓ Γιατί:Αυτή την τεχνική χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι με «σκοινί 13 κόμπων» (πλευρές 3-4-5) για να φτιάχνουν ορθές γωνίες σε καλλιέργειες.

1Σωστό / Λάθος

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.

2Σωστό / Λάθος

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει σε κάθε τρίγωνο.

3Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 3 και 4. Η υποτείνουσα είναι:

4Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 6 και 8. Η υποτείνουσα είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα 13 και μία κάθετη 5. Η άλλη κάθετη είναι:

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-gpyth-m1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, βάση $= 12 cm$ και ίσες πλευρές $= 10 cm$ . Να βρεις το ύψος και το εμβαδόν.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Το ύψος πέφτει στο μέσο της βάσης: $υ = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8 cm$ . Εμβαδόν $= 12 \cdot \frac{8}{2} = 48 cm^{2}$ .
2Μεσαίοgb-gpyth-m2
Χορδή ΑΒ κύκλου έχει μήκος 20 cm και η απόστασή της από το κέντρο είναι 7 cm. Βρες τη διάμετρο.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Μισό χορδής $= 10$ .
2. 2
  Ακτίνα $ρ = 1 0^{2} + 7^{2} = 100 + 49 = 149$ .
3. 3
  Διάμετρος $= 2149 c m$ .
3Εύκολοgb-gpyth-e2
Ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 5 και 12. Πόση είναι η υποτείνουσα;
Λύση βήμα-βήμα
Υποτείνουσα $= 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
4Εύκολοgb-gpyth-e1
Να υπολογίσεις τη διαγώνιο ορθογωνίου με μήκος 8 cm και πλάτος 6 cm.
Λύση βήμα-βήμα
Διαγώνιος $= 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100 = 10 cm$ .

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-gpyth-m1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, βάση $= 12 cm$ και ίσες πλευρές $= 10 cm$ . Να βρεις το ύψος και το εμβαδόν.
2Μεσαίοgb-gpyth-m2
Χορδή ΑΒ κύκλου έχει μήκος 20 cm και η απόστασή της από το κέντρο είναι 7 cm. Βρες τη διάμετρο.
3Δύσκολοgb-gpyth-h1
Σε ισοσκελές τρίγωνο, κάθε ίση πλευρά είναι 3 cm μεγαλύτερη από τη βάση. Αν η περίμετρος είναι 36 cm, βρες τις πλευρές, το ύψος και το εμβαδόν.
4Δύσκολοgb-gpyth-h2
Τρίγωνο έχει πλευρές $AB = x - 14, AΓ = x, BΓ = x + 2$ και περίμετρο 60. Να βρεις το $x$ και να εξετάσεις αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.