Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις›1.4 Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Εξισώσεις - Ανισώσεις

§1.4 Επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📋Βήματα επίλυσης προβλήματος

•
1ο βήμα: Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα και διακρίνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα.
•
2ο βήμα: Χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το $x$ ) για να εκφράσουμε τον άγνωστο.
•
3ο βήμα: Εκφράζουμε όλα τα άλλα μεγέθη του προβλήματος με τη βοήθεια του $x$ .
•
4ο βήμα: Γράφουμε την εξίσωση του προβλήματος χρησιμοποιώντας τα δεδομένα.
•
5ο βήμα: Λύνουμε την εξίσωση.
•
6ο βήμα: Ελέγχουμε αν η λύση που βρήκαμε ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.
💡 Παράδειγμα:
Παράδειγμα: «το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 8 ισούται με τον αριθμό αυξημένο κατά 9»→ $2 x - 8 = x + 9$ ⇔ $x = 17$ .

🧩Τυπικά μοτίβα προβλημάτων

•
Πρόβλημα «δουλειάς»: όταν δύο μηχανισμοί δουλεύουν μαζί, στο 1 λεπτό κάνει ο πρώτος $\frac{1}{α}$ και ο δεύτερος $\frac{1}{β}$ . Σε $x$ λεπτά μαζί: $\frac{x}{α} + \frac{x}{β} = 1$ .
💡 Παράδειγμα:
Βρύση γεμίζει δεξαμενή σε 10΄, άλλη σε 15΄.
$Μαζ \overset{ι}{ˊ} : \frac{x}{10} + \frac{x}{15} = 1 \to x = 6 λεπτ \overset{α}{ˊ} .$
•
Πρόβλημα «μερών του όλου»: ένα άγνωστο ποσό $x$ μοιράζεται σε κλάσματα. Αθροίζουμε τα μερίδια $= x$ .
💡 Παράδειγμα:
Μικρότερος έλαβε $\frac{x}{5} + 12$ €, μεσαίος $\frac{x}{4} + 8$ , μεγαλύτερος $\frac{x}{3} + 6$ .
$Άθροισμα = x \to x = 120€.$
•
Προσοχή: η λύση πρέπει να έχει νόημα στο πραγματικό πρόβλημα. Αν π.χ. λύση είναι «βαθμός 23», απορρίπτεται (μέγιστος βαθμός 20).

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Το τελευταίο βήμα στην επίλυση προβλήματος είναι ο έλεγχος αν η λύση ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος.

2Σωστό / Λάθος

Σε πρόβλημα βαθμολογίας (κλίμακα 0–20), αν βρούμε λύση «βαθμός 23», τη δεχόμαστε.

3Σωστό / Λάθος

Το «διπλάσιο ενός αριθμού» γράφεται

2 x

4Πολλαπλής επιλογής

«Το διπλάσιο ενός αριθμού μειωμένο κατά 8 ισούται με τον αριθμό αυξημένο κατά 9.» Ποια εξίσωση το εκφράζει;

5Πολλαπλής επιλογής

Λύσε το πρόβλημα:

2 x - 8 = x + 9

. Ποιος είναι ο αριθμός;

6Πολλαπλής επιλογής

Δύο βρύσες γεμίζουν δεξαμενή σε 10΄ και 15΄. Σε

x

λεπτά μαζί, ποια εξίσωση ισχύει;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-1.3-m2
Να μοιραστούν 10.000€ σε τρία άτομα Α, Β, Γ, ώστε ο Α να πάρει 1500€ λιγότερα από τον Β και ο Γ 2500€ περισσότερα από τον Β.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $B = x$ . $A = x - 1500, Γ = x + 2500$ . Άθροισμα: $3 x + 1000 = 10000$
2. 2
  $x = 3000$ . Άρα $A = 1500$ €, $B = 3000$ €, $Γ = 5500$ €.
2Μεσαίοgb-1.3-m1
Να βρεθεί αριθμός που το τριπλάσιό του όταν αυξηθεί κατά 3 δίνει το τετραπλάσιο του ίδιου αριθμού μειωμένο κατά 2.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $x$ ο αριθμός. $3 x + 3 = 4 x - 2$
2. 2
  $x = 5$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-1.3-m1
Να βρεθεί αριθμός που το τριπλάσιό του όταν αυξηθεί κατά 3 δίνει το τετραπλάσιο του ίδιου αριθμού μειωμένο κατά 2.
2Μεσαίοgb-1.3-m2
Να μοιραστούν 10.000€ σε τρία άτομα Α, Β, Γ, ώστε ο Α να πάρει 1500€ λιγότερα από τον Β και ο Γ 2500€ περισσότερα από τον Β.
3Δύσκολοgb-1.3-h1
Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 5 ώρες. Μια άλλη βρύση την αδειάζει σε 6 ώρες. Αν ανοίξουμε ταυτόχρονα και τις δύο, σε πόσες ώρες θα γεμίσει;
4Δύσκολοgb-1.3-h2
Στη Β΄ τάξη φοιτούν 85 μαθητές. Τα αγόρια είναι 31 λιγότερα από τα κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε κάθε λεκτικό πρόβλημα που λύνεται με εξίσωση.

Βήματα

11ο: Ξεχώρισε τα δεδομένα από τα ζητούμενα.
22ο: Όνομασε τον άγνωστο $x$ .
33ο: Έκφρασε τα άλλα μεγέθη με τη βοήθεια του $x$ .
44ο: Γράψε την εξίσωση από τα δεδομένα.
55ο: Λύσε την εξίσωση.
66ο: Έλεγξε ότι η λύση έχει νόημα στο πρόβλημα.

Παράδειγμα

«Διπλάσιο αριθμού μειωμένο κατά

8 =

αριθμός αυξημένος κατά 9»⇔

2 x - 8 = x + 9

⇔

x = 17

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 8 ασκήσεις προς λύση

1
Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 4 ισούται με 19. Να βρεις τον αριθμό.
2
Ένας αριθμός και ο επόμενός του έχουν άθροισμα 47. Να τους βρεις.
3
Ο Νίκος είναι 4 χρόνια μεγαλύτερος από την αδελφή του και το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 28. Πόσων χρονών είναι;
4
Δύο βρύσες γεμίζουν δεξαμενή σε 12΄ και 6΄. Σε πόση ώρα τη γεμίζουν μαζί;
5
Αγόρασα ένα παντελόνι και μια μπλούζα 75 € συνολικά. Το παντελόνι κοστίζει το διπλάσιο της μπλούζας. Πόσο το καθένα;
6
Σε ορθογώνιο το μήκος είναι 3 cm μεγαλύτερο από το πλάτος και η περίμετρος 26 cm. Βρες τις διαστάσεις.
7
Ο μισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 10% και έγινε 1.320 €. Ποιος ήταν ο αρχικός;
8
Ένας αριθμός είναι κατά 6 μεγαλύτερος από τον τετραπλάσιο ενός άλλου. Αν το άθροισμά τους είναι 41, βρες τους.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Τρία αδέλφια μοιράζονται 120 €. Ο μεσαίος παίρνει διπλάσια από τον μικρό και ο μεγάλος τριπλάσια από τον μικρό. Πόσα παίρνει ο καθένας;

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Ένας πατέρας είναι 30 χρόνια μεγαλύτερος από τον γιο του. Σε 5 χρόνια ο πατέρας θα είναι τριπλάσιος από τον γιο. Πόσων χρονών είναι σήμερα ο καθένας;

Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 6 ώρες, ενώ μια δεύτερη την αδειάζει σε 8 ώρες. Αν είναι ανοιχτές και οι δύο (η δεξαμενή αρχικά άδεια), σε πόσες ώρες θα γεμίσει;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Σε ένα διαγώνισμα με 20 ερωτήσεις, κάθε σωστή δίνει 5 μονάδες και κάθε λάθος αφαιρεί 2 μονάδες. Ο Μάριος απάντησε σε όλες τις ερωτήσεις και πήρε 58 μονάδες.

α) Αν

x

είναι οι σωστές απαντήσεις, πώς εκφράζονται οι λάθος;

β) Να γράψεις την εξίσωση και να τη λύσεις.

γ) Πόσες σωστές και πόσες λάθος είχε;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.4 — Επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις

Ύλη: §1.4Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Η φράση «το μισό ενός αριθμού» γράφεται

\frac{x}{2}

β) Στα προβλήματα δεν χρειάζεται έλεγχος της λύσης.

γ) Ο «κατά 3 μικρότερος» από έναν αριθμό

x

γράφεται

x - 3

ΘΕΜΑ Β

Το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι 72.

α) Να γράψεις την εξίσωση.

β) Να βρεις τους αριθμούς.

ΘΕΜΑ Γ

Ένα ποδήλατο πωλείται με έκπτωση 20% και κοστίζει τελικά 160 €.

α) Αν

x

η αρχική τιμή, να γράψεις την εξίσωση.

β) Να βρεις την αρχική τιμή.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⚖️ Quiz · Εξισώσεις 1ου βαθμού

← Προηγούμενο

1.3 Επίλυση τύπων

Επόμενο →

1.5 Ανισώσεις α΄ βαθμού