Κεφ. 3 - Συναρτήσεις›3.4 Η συνάρτηση y=αx+β

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συναρτήσεις

§3.4 Η συνάρτηση y = αx + β

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

📈Γραφική παράσταση

•
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = α \cdot x + β$ (με β ≠ 0) είναι μια ευθεία παράλληλη προς $την y = α \cdot x, που$ διέρχεται από το σημείο (0, β) του άξονα y'y. $y = α \cdot x + β$
💡 Παράδειγμα:
$Στο y = 0, 9 x + 10 : \overset{ι}{ˊ} δια κλ \overset{ι}{ˊ} ση 0, 9 μ ε y = 0, 9 x, αλλ \overset{α}{ˊ} μετατοπισμ \overset{ε}{ˊ} νη 10 μον \overset{α}{ˊ} δες π \overset{α}{ˊ} νω .$
▶️ Η ευθεία y = αx μετατοπίζεται κατακόρυφα κατά β μονάδες, παραμένοντας παράλληλη
y = x + 3 — παράλληλη της y = x, τέμνει τον y′y στο (0, 3).
Σύρε το σημείο (0, β) πάνω-κάτω — η ευθεία μετατοπίζεται κατακόρυφα, μένει παράλληλη.
❓ Γιατί:Η σταθερά β προσθέτει την ίδια τιμή σε κάθε $y$ , δηλαδή «ανυψώνει» την ευθεία κατά β μονάδες κατακόρυφα. Η κλίση α παραμένει η ίδια, αλλά η ευθεία δεν διέρχεται πια από το Ο.
📎 Δες και:
•
Ο αριθμός α λέγεται κλίση της ευθείας $y = α \cdot x + β$ . Ο αριθμός β λέγεται σταθερός όρος (το σημείο τομής με τον άξονα y'y).
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x - 3 : κλ \overset{ι}{ˊ} ση = 2, σταθερ \overset{ο}{ˊ} ς \overset{ο}{ˊ} ρος = - 3, \overset{α}{ˊ} ρα τ \overset{ε}{ˊ} μνει τον y^{'} y στο (0, - 3) .$

🔄Η γενική μορφή αx + βy = γ

•
Κάθε εξίσωση της μορφής $α \cdot x + β \cdot y = γ$ (με $α \neq = 0$ ή β ≠ 0) παριστάνει ευθεία στο επίπεδο.
💡 Παράδειγμα:
$6 x + 2 y = 15 \to λ \overset{υ}{ˊ} νοντας ω ς προς y : y = - 3 x + 7, 5 \to ευθε \overset{ι}{ˊ} α μ ε κλ \overset{ι}{ˊ} ση - 3.$
•
Η εξίσωση $y = κ$ (σταθερά) παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x'x. Ειδικά, $y = 0$ είναι ο άξονας x'x.
•
Η εξίσωση $x = κ$ (σταθερά) παριστάνει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα y'y. Ειδικά, $x = 0$ είναι ο άξονας y'y.

✖️Σημεία τομής με τους άξονες

•
Για τομή με x'x θέτουμε $y = 0$ και βρίσκουμε το $x$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x - 6 : για y = 0 \to 2 x = 6 \to x = 3 \to σημε \overset{ι}{ˊ} ο (3, 0) .$
•
Για τομή με y'y θέτουμε $x = 0$ και βρίσκουμε το $y$ .
💡 Παράδειγμα:
$y = 2 x - 6 : για x = 0 \to y = - 6 \to σημε \overset{ι}{ˊ} ο (0, - 6) .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στην

y = 2 x - 3

ο σταθερός όρος είναι

- 3

2Σωστό / Λάθος

Η ευθεία

y = α x + β

με

β \neq = 0

διέρχεται από την αρχή

O

3Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο σημείο τέμνει η

y = 2 x - 6

τον άξονα των

y

;

4Πολλαπλής επιλογής

Σε ποιο σημείο τέμνει η

y = 2 x - 6

τον άξονα των

x

;

5Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η κλίση της ευθείας

y = - 4 x + 1

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgb-3.4-m2
Να βρεις την εξίσωση ευθείας με κλίση 3 που διέρχεται από το $A (- 2, - 7)$ . Σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $y = 3 x + β$ . Από Α: $- 7 = - 6 + β$
2. 2
  $β = - 1$ . Εξίσωση: $y = 3 x - 1$ . Τομές: $y = 0$
3. 3
  $x = \frac{1}{3} (B (\frac{1}{3}, 0))$ . $x = 0$
4. 4
  $y = - 1 (Γ (0, - 1))$ .
2Μεσαίοgb-3.4-m1
Να βρεις την εξίσωση ευθείας που έχει κλίση 2 και διέρχεται από το Α(0, 1). Να ελέγξεις αν διέρχεται και από το Β(3, 8).
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Εξίσωση: $y = 2 x + 1$ .
2. 2
  Για $x = 3$ : $y = 7 \neq = 8$ .
3. 3
  Άρα δεν διέρχεται από το Β.
3Εύκολοgb-3.4-e1
Δίνονται τα σημεία Α(1,3), Β(2,10). Υπολόγισε την απόσταση ΑΒ.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$AB = \sqrt ((2 - 1)^{2} + (10 - 3)^{2}) = 1 + 49 = 50 = 52$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgb-3.4-m1
Να βρεις την εξίσωση ευθείας που έχει κλίση 2 και διέρχεται από το Α(0, 1). Να ελέγξεις αν διέρχεται και από το Β(3, 8).
2Μεσαίοgb-3.4-m2
Να βρεις την εξίσωση ευθείας με κλίση 3 που διέρχεται από το $A (- 2, - 7)$ . Σε ποια σημεία τέμνει τους άξονες;
3Δύσκολοgb-3.4-h1
Δίνεται η συνάρτηση $y = 1, 8 x + 32$ (μετατροπή Κελσίου σε Φαρενάιτ). α) Σε πόσους βαθμούς Κελσίου αντιστοιχούν 41° $F$ ; β) Επαλήθευσε την απάντησή σου αντικαθιστώντας την τιμή του $x$ στον τύπο.
4Δύσκολοgb-ep-h2
Η ατμοσφαιρική πίεση $y$ (σε atm) μειώνεται με το ύψος $x$ (σε km) σύμφωνα με τη συνάρτηση $y = - 0, 05 x + 1$ . α) Πόση η πίεση στην επιφάνεια; β) Πόση σε 10 km; γ) Σε ποιο ύψος η πίεση είναι 0,75 atm;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📈 Quiz · Συναρτήσεις & Γραφικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

3.3 Η συνάρτηση y=αx

Επόμενο →

3.5 Η συνάρτηση y=α/x - Η υπερβολή