Γεωμ. 1 - Γεωμετρία (Ομοιότητα)›Γ.1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Γεωμετρία (Ομοιότητα)

§Γ.1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων

•
Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.
•
Συνέπεια: αν από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μια άλλη πλευρά, αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς.
💡 Παράδειγμα:
$Σ ε τρ \overset{ι}{ˊ} γωνο ΑΒΓ μ ε Δ μ \overset{ε}{ˊ} σο της AB και ΔE ∥ BΓ, τ \overset{ο}{ˊ} τε E μ \overset{ε}{ˊ} σο της AΓ και ΔE = \frac{BΓ}{2} .$
❓ Γιατί:Πρόκειται για συνέπεια του γενικότερου θεωρήματος Θαλή — οι παράλληλες «μεταφέρουν» τις αναλογίες από τη μία ευθεία στην άλλη.
📎 Δες και:

•
Λόγος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ προς το ΑΒ είναι ο αριθμός λ για τον οποίο ισχύει $ΓΔ = λ \cdot AB$ . Συμβολίζεται $\frac{ΓΔ}{AB}$ .
$\frac{ΓΔ}{AB} = λ$ $⟺ ΓΔ = λ \cdot AB$
•
Ο λόγος δύο τμημάτων είναι ίσος με τον λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα.
💡 Παράδειγμα:
$ΔE = 120 cm και ZH = 1, 5 m \to \frac{ΔE}{ZH} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} .$

•
Τα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα τμήματα β, δ όταν ισχύει $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$ . Η ισότητα αυτή λέγεται αναλογία· τα α, δ είναι άκροι όροι και τα β, γ μέσοι όροι. $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ}$
•
Σε κάθε αναλογία ισχύει: γινόμενο άκρων = γινόμενο μέσων $(α \cdot δ = β \cdot γ)$ . Μπορούμε επίσης να εναλλάξουμε μέσους ή άκρους. $\frac{α}{β} = \frac{γ}{δ} \Rightarrow α \cdot δ = β \cdot γ$
❓ Γιατί:Είναι ακριβώς οι ιδιότητες αναλογιών που μάθαμε στην Α΄ Γυμν. — μόνο που τώρα οι όροι είναι μήκη τμημάτων.
📎 Δες και: