Γεωμ. 1 - Γεωμετρία (Ομοιότητα)›Γ.1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 1 - Γεωμετρία (Ομοιότητα)

§Γ.1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α

🟩Θεώρημα: λόγος εμβαδών = τετράγωνο του λόγου ομοιότητας

•
Δύο όμοια πολύγωνα έχουν ανάλογες πλευρές και ίσες αντίστοιχες γωνίες. Ο λόγος ομοιότητας λ είναι ο σταθερός λόγος ομόλογων πλευρών των δύο σχημάτων. $λ = \frac{α ^{'}}{α} (λ \overset{ο}{ˊ} γος ομοι \overset{ο}{ˊ} τητας)$
▶️ Μεγέθυνση/σμίκρυνση σχήματος με λόγο k.
Λόγος ομοιοθεσίας λ1.50
⤢ Μεγέθυνση
0.31.02.5
❓ Γιατί:Ο λόγος ομοιότητας λ είναι το «κλειδί»: για κάθε ζεύγος ομόλογων στοιχείων (πλευρές, διαγώνιοι, αποστήματα), ο λόγος τους είναι σταθερά λ.
📎 Δες και:
•
Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων ισούται με το ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ του λόγου ομοιότητάς τους. $\frac{E ^{'}}{E} = λ^{2}$
▶️ Slider λ — σύγκριση εμβαδών: όταν λ = 2, το εμβαδόν τετραπλασιάζεται.
Λόγος ομοιότητας λ2.00
Εμβαδόν Π1600
Εμβαδόν Π′6400
E′/E = λ²4.00
Αν διπλασιάσεις τη διάσταση (λ=2), το εμβαδόν τετραπλασιάζεται (λ²=4)
•
Διαισθητική εξήγηση: το εμβαδόν εξαρτάται από ΔΥΟ διαστάσεις. Αν και οι δύο πολλαπλασιαστούν με λ, το γινόμενό τους (που δίνει το εμβαδόν) πολλαπλασιάζεται με $λ \cdot λ = λ^{2}$ .
❓ Γιατί:Είναι θεμελιώδες πρότυπο που γενικεύεται: σε χώρο ν διαστάσεων ο λόγος των αντίστοιχων «όγκων» είναι το λ υψωμένο στη ν-οστή δύναμη. Έτσι, για όγκους ( $3 D$ ) ο λόγος γίνεται $λ^{3}$ .

🎯Εφαρμογές

•
Πρακτικός κανόνας μεγέθυνσης / σμίκρυνσης: όταν φωτοτυπούμε με λόγο λ, το εμβαδόν αλλάζει με $λ^{2}$ .
💡 Παράδειγμα:
$Μεγ \overset{ε}{ˊ} θυνση 120$
$Λ \overset{ο}{ˊ} γος εμβαδ \overset{ω}{ˊ} ν = (1, 2)^{2} = 1, 44 \to ν \overset{ε}{ˊ} ο εμβαδ \overset{ο}{ˊ} ν 144$
•
Παράδειγμα ορθογωνίων: ορθογώνιο α × β έχει εμβαδόν $E = α \cdot β$ . Σε ομοιοθεσία με $λ = 3$ , οι διαστάσεις γίνονται 3α × 3β, και το εμβαδόν Ε′ $= 3 α \cdot 3 β = 9 α β = 9E$ .
•
Αν δύο όμοια πολύγωνα έχουν λόγο ομοιότητας $\frac{1}{2}$ , τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Το μικρότερο έχει το ένα τέταρτο του εμβαδού του μεγαλύτερου.
▶️ Μεγέθυνση/σμίκρυνση σχήματος με λόγο k.
Λόγος ομοιοθεσίας λ1.50
⤢ Μεγέθυνση
0.31.02.5
•
Αντίστροφη χρήση: αν γνωρίζουμε τον λόγο εμβαδών και θέλουμε τον λόγο πλευρών, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα. $λ = \frac{E ^{'}}{E}$
💡 Παράδειγμα:
Δύο όμοια τρίγωνα έχουν λόγο εμβαδών 9.
$Τ \overset{ο}{ˊ} τε ο λ \overset{ο}{ˊ} γος ομοι \overset{ο}{ˊ} τητ \overset{α}{ˊ} ς τους ε \overset{ι}{ˊ} ναι 9 = 3.$

⭕Σε όμοιους κύκλους · κανονικά πολύγωνα

•
Δύο κύκλοι με ακτίνες $R$ και $r$ έχουν λόγο ομοιότητας $λ = \frac{R}{r}$ . Άρα ο λόγος των εμβαδών τους είναι $λ^{2} = \frac{R ^{2}}{r ^{2}}$ . $E_{κ \overset{υ}{ˊ} κλου} = π R^{2} \to \frac{E ^{'}}{E} = \frac{R ^{2}}{r ^{2}}$
💡 Παράδειγμα:
$Κ \overset{υ}{ˊ} κλος ακτ \overset{ι}{ˊ} νας 5 σ ε σχ \overset{ε}{ˊ} ση μ ε κ \overset{υ}{ˊ} κλο ακτ \overset{ι}{ˊ} νας 2 : λ \overset{ο}{ˊ} γος εμβαδ \overset{ω}{ˊ} ν = \frac{25}{4} .$
▶️ Μεγέθυνση/σμίκρυνση σχήματος με λόγο k.
Λόγος ομοιοθεσίας λ1.50
⤢ Μεγέθυνση
0.31.02.5
•
Δύο κανονικά πολύγωνα με ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια. Άρα ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το τετράγωνο του λόγου των πλευρών (ή των ακτίνων του εγγεγραμμένου / περιγεγραμμένου κύκλου).
▶️ Ε = α·β (ορθογώνιο) ή α² (τετράγωνο).
Λόγος ομοιότητας λ2.00
Εμβαδόν Π1600
Εμβαδόν Π′6400
E′/E = λ²4.00
Αν διπλασιάσεις τη διάσταση (λ=2), το εμβαδόν τετραπλασιάζεται (λ²=4)