Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία›Γ.2.4 Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Γεωμ. 2 - Τριγωνομετρία

§Γ.2.4 Νόμος ημιτόνων & συνημιτόνων

•
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, οι πλευρές είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών: $\frac{α}{ημ A} = \frac{β}{ημ B} = \frac{γ}{ημ Γ}$
▶️ Slider γωνίας · live έλεγχος ότι οι 3 λόγοι α/ημΑ, β/ημΒ, γ/ημΓ είναι ίσοι.
α / ημΑ6.385
β / ημΒ6.385
γ / ημΓ6.385
✓ Οι 3 λόγοι παραμένουν ΙΣΟΙ ό,τι κι αν αλλάξεις
Α = 70° · Β = 50° · Γ = 60°
•
Χρησιμότητα: αν γνωρίζουμε μία πλευρά, την απέναντι γωνία της και μία ακόμα πλευρά ή γωνία, υπολογίζουμε τα υπόλοιπα στοιχεία.
💡 Παράδειγμα:
$Αν α = 8, Α = 70°, γ = 6: από $\frac{8}{\operatorname{ημ}70^{\circ}} = \frac{6}{\operatorname{ημ}Γ}$ → $\operatorname{ημ}Γ = \frac{6\operatorname{ημ}70^{\circ}}{8} ≈ 0{,}705$ → Γ ≈ 45°.$
❓ Γιατί:Στο ορθογώνιο τρίγωνο (όπου $A = 90$ °), ο νόμος γίνεται $α =$ υποτείνουσα $= \frac{β}{η μ}$ Β $= \frac{γ}{η μ}$ Γ — δηλαδή ο γνωστός ορισμός $η μ =$ απέναντι/υποτείνουσα.

•
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ: $α^{2} = β^{2} + γ^{2} - 2 β γ \cdot συν A$
▶️ Slider γωνίας Α · στο 90° γίνεται Πυθαγόρειο (συνΑ = 0).
συνΑ0.500
β² + γ²41.0
2βγ·συνΑ20.00
α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ21.00
α4.583
Α = 60°
•
Κυκλικά, με αντίστοιχο τρόπο για την πλευρά β: $β^{2} = γ^{2} + α^{2} - 2 γ α \cdot συν B$
•
Και για την πλευρά γ: $γ^{2} = α^{2} + β^{2} - 2 α β \cdot συν Γ$
•
Χρησιμότητα: αν γνωρίζουμε δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία τους (ή και τις τρεις πλευρές), βρίσκουμε τα υπόλοιπα στοιχεία.
💡 Παράδειγμα:
$A = 6 0^{\circ}, β = 4, γ = 2 \to α^{2} = 16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (\frac{1}{2}) = 12 \to α = 23 .$
❓ Γιατί:Είναι η γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος: όταν η γωνία $A = 90$ °, τότε συνΑ $= 0$ και ο τύπος γίνεται $α^{2} = β^{2} + γ^{2}$ — δηλαδή το γνωστό Πυθαγόρειο.
📎 Δες και:

•
Νόμος ημιτόνων: όταν έχω ζευγάρι «πλευρά + απέναντι γωνία» και ψάχνω άλλη πλευρά ή άλλη γωνία.
•
Νόμος συνημιτόνων: όταν έχω τρεις πλευρές, ή δύο πλευρές + περιεχόμενη γωνία (χωρίς απέναντι ζευγάρι).

1Σωστό / Λάθος

Ο νόμος των συνημιτόνων είναι

α^{2} = β^{2} + γ^{2} - 2

βγσυνΑ.

2Πολλαπλής επιλογής

Όταν η γωνία

A = 90

°, ο νόμος των συνημιτόνων

α^{2} = β^{2} + γ^{2} - 2

βγσυνΑ γίνεται:

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.