Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επανάληψη)

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔢Πραγματικοί αριθμοί

•
Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί: ρητοί + άρρητοι.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{3}{4}, - \frac{5}{2}, 7, 34, 2, π, \frac{5}{3}, 4, - 0, 5, 1 + 3, 6, 1010010001 \dots$
•
Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που γράφεται ως κλάσμα $\frac{μ}{ν}$ (μ ακέραιος, ν ≠ 0). Άρρητος = κάθε άλλος.
❓ Γιατί:Οι ρητοί έχουν δεκαδική μορφή είτε πεπερασμένη είτε περιοδική. Οι άρρητοι έχουν άπειρα μη περιοδικά δεκαδικά ψηφία.
📎 Δες και:

➕Πράξεις & Δυνάμεις & Ρίζες

•
Πρόσθεση ομόσημων: αθροίζω απόλυτες τιμές, κρατώ πρόσημο. Ετερόσημων: αφαιρώ μικρότερη από μεγαλύτερη, πρόσημο από αυτή με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.
•
Πολλαπλασιασμός: ομόσημοι → (+), ετερόσημοι → (−). $(+) (+) = (-) (-) = +$
•
Ιδιότητες δυνάμεων: $α^{m} \cdot α^{n} = α^{m + n}, α^{m} : α^{n} = α^{m - n}, (α^{m})^{n} = α^{mn}, (α \cdot β)^{n} = α^{n} β^{n}, α^{0} = 1, α^{- n} = \frac{1}{α ^{n}}$
•
Τετραγωνική ρίζα: $α$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει $α (α \geq 0)$ . $α \cdot β = α \cdot β, \frac{α}{β} = \frac{α}{β}$
💡 Παράδειγμα:
$50 = 25 \cdot 2 = 52 .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ο αριθμός

2

είναι ρητός.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

α^{m} \cdot α^{n} = α^{m + n}

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

50 = 52

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το 2⁻³;

5Πολλαπλής επιλογής

Να απλοποιήσεις το

72

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το (

2^{3}

)²;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-1.1-e1
Υπολόγισε: 17 − 5 · 4 + 8 : 3 (με προτεραιότητα πράξεων).
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$17 - 20 + \frac{8}{3} = - 3 + \frac{8}{3} = - \frac{9}{3} + \frac{8}{3} = - \frac{1}{3}$ .
2Μεσαίοgg-1.2-m2
Να βρεις το $x$ : $(\frac{2}{5})^{x + 3} = \frac{125}{8}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{125}{8} = (\frac{5}{2})^{3} = (\frac{2}{5})$ ⁻³. Άρα $x + 3 = - 3$
2. 2
  $x = - 6$ .
3Εύκολοgg-1.1-e2
Υπολόγισε: $4^{3}$ + (−2)³ + $5^{2}$ − 1.
Λύση βήμα-βήμα
$64 + (- 8) + 25 - 1 = 80$ .
4Μεσαίοgg-1.3-m1
Υπολόγισε: 2 $48$ − 3 $75$ + 2 $27$ + 6 $12$ .
Λύση βήμα-βήμα
$2 \cdot 43 - 3 \cdot 53 + 2 \cdot 33 + 6 \cdot 23 = 83 - 153 + 63 + 123 = 113$ .
5Μεσαίοgg-1.1-m1
Υπολόγισε: 1 − 4·3 + 3· $2^{2}$ + 4·5 : 15.
Λύση βήμα-βήμα
$1 - 12 + 12 + \frac{20}{15} = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$ .
6Μεσαίοgg-1.2-m1
Να βρεις την τιμή του $x$ : $5^{2 x} \cdot 5^{x + 7} = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $5^{2 x + x + 7} = 5^{0}$
2. 2
  $3 x + 7 = 0$
3. 3
  $x = - \frac{7}{3}$ .
7Μεσαίοgg-1.3-m3
Μετάτρεψε σε κλάσμα με ρητό παρονομαστή: 8/ $6$ .
Λύση βήμα-βήμα
$\frac{8}{6} = 8 \frac{6}{6} = 4 \frac{6}{3}$ .
8Εύκολοgg-1.3-e2
Υπολόγισε: $1, 44$ .
Λύση βήμα-βήμα
$1, 44 = 1, 2$ .
9Εύκολοgg-1.2-e2
Γράψε ως μία δύναμη: $5^{7}$ : $5^{8}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$5^{7}$ : $5^{8} = 5$ ⁻¹ $= \frac{1}{5}$ .
10Εύκολοgg-1.2-e1
Γράψε ως μία δύναμη: 2 $7^{5}$ · 8 $1^{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$2 7^{5} \cdot 8 1^{3} = (3^{3})^{5} \cdot (3^{4})^{3} = 3$ ¹⁵·3¹ $² = 3^{27}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-1.1-m1
Υπολόγισε: 1 − 4·3 + 3· $2^{2}$ + 4·5 : 15.
2Μεσαίοgg-1.2-m2
Να βρεις το $x$ : $(\frac{2}{5})^{x + 3} = \frac{125}{8}$ .
3Μεσαίοgg-1.2-m1
Να βρεις την τιμή του $x$ : $5^{2 x} \cdot 5^{x + 7} = 1$ .
4Μεσαίοgg-1.3-m2
Υπολόγισε: 3 $98$ − 2 $128$ + $242$ .
5Μεσαίοgg-1.3-m1
Υπολόγισε: 2 $48$ − 3 $75$ + 2 $27$ + 6 $12$ .
6Δύσκολοgg-1.3-h1
Μετάτρεψε σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή: $\frac{7}{4 2}$ .
7Μεσαίοgg-1.3-m3
Μετάτρεψε σε κλάσμα με ρητό παρονομαστή: 8/ $6$ .
8Μεσαίοgg-1.2-m3
Υπολόγισε γρήγορα: ( $\frac{2}{3}$ )²⁰¹⁴ · ( $\frac{3}{2}$ )²⁰¹⁵.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε προσθέσεις και πολλαπλασιασμούς θετικών/αρνητικών αριθμών.

Βήματα

1Πρόσθεση ομόσημων: αθροίζω απόλυτες τιμές, κρατώ το κοινό πρόσημο.
2Πρόσθεση ετερόσημων: αφαιρώ τη μικρότερη από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, πρόσημο αυτού με τη μεγαλύτερη.
3Πολλαπλασιασμός/διαίρεση: ομόσημοι → +, ετερόσημοι → −.

Παράδειγμα

(- 3) + (- 5) = - 8

(- 7) + 4 = - 3

(- 2) \cdot (- 5) = + 10

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να υπολογίσεις: (−3)·(−4) + (−2)·5.
2
Να απλοποιήσεις: $8$ .
3
Να υπολογίσεις: $x^{7} \cdot x^{2}$ : $x^{3}$ .
4
Να υπολογίσεις: (−2)³.
5
Να υπολογίσεις: $121$ .
6
Να γράψεις χωρίς αρνητικό εκθέτη: 3⁻².
7
Να υπολογίσεις: ( $2 x$ ³)².
8
Να υπολογίσεις: $18$ + $2$ .
9
Να υπολογίσεις: (−1)⁵ + (−1)⁴.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να υπολογίσεις την παράσταση

2^{3}

· 2⁻¹ +

9 \cdot 4

− 5⁰.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να αποδείξεις ότι η παράσταση

50

−

8

18

ισούται με 6

2

Να υπολογίσεις την παράσταση

\frac{x ^{5} \cdot x ^{- 2}}{x ^{4} \cdot x ^{- 3}}

(x \neq = 0)

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A = (- 2)^{2} + 3

⁻¹ ·

3^{2}

−

16

α) Να υπολογίσεις κάθε όρο χωριστά.

β) Να βρεις την τιμή της Α.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.1 — Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Ύλη: §1.1Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Κάθε ρητός αριθμός γράφεται ως κλάσμα

\frac{μ}{ν}

με

ν \neq = 0

β) Ισχύει

(α^{m})^{n} = α^{m + n}

γ) Ισχύει

9 + 16 = 9 + 16

ΘΕΜΑ Β

Δίνονται οι αριθμοί

75

και

12

α) Να τους απλοποιήσεις.

β) Να υπολογίσεις το

75

−

12

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παράσταση

B = 2^{4}

2^{2}

+ (−3)² −

49

α) Να υπολογίσεις κάθε όρο.

β) Να βρεις την τιμή της Β.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

Επόμενο →

1.2 Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα