Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

✖️Πολλαπλασιασμός & διαίρεση

•
Πολλαπλασιασμός: γινόμενο αριθμητών / γινόμενο παρονομαστών (όπως στα κλάσματα). $(\frac{α}{β}) \cdot (\frac{γ}{δ}) = \frac{α \cdot γ}{β \cdot δ}$
•
Διαίρεση: πολλαπλασιασμός με τον αντίστροφο. $(\frac{α}{β}) : (\frac{γ}{δ}) = (\frac{α}{β}) \cdot (\frac{δ}{γ}) = \frac{α \cdot δ}{β \cdot γ}$
💡 Παράδειγμα:
$(\frac{x ^{2}}{y}) : (\frac{x}{y ^{2}}) = (\frac{x ^{2}}{y}) \cdot (\frac{y ^{2}}{x}) = x y .$

➕Πρόσθεση & αφαίρεση

•
Ομώνυμες: αθροίζουμε αριθμητές, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή. $\frac{α}{γ} \pm \frac{β}{γ} = \frac{α \pm β}{γ}$
•
Ετερώνυμες: μετατρέπουμε σε ομώνυμες με κοινό παρονομαστή το ΕΚΠ των παρονομαστών.
💡 Παράδειγμα:
$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{x^2-1}$.$
❓ Γιατί:Όπως $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ → $ΕΚΠ = 6$ → $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ . Ίδια λογική με αλγεβρικά κλάσματα — απλώς οι παρονομαστές είναι πολυώνυμα.
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ισχύει

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}

2Σωστό / Λάθος

Για να διαιρέσουμε δύο ρητές παραστάσεις, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με τον αντίστροφο της δεύτερης.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

(ομώνυμες).

4Σωστό / Λάθος

Ισχύει

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x + y}

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x \neq = 0)

\frac{x}{3} \cdot \frac{6}{x ^{2}}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x \neq = 0)

\frac{x}{2} : \frac{x}{4}

;

7Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x \neq = 0)

\frac{2}{x} + \frac{3}{x}

;

8Πολλαπλής επιλογής

Ποιος είναι ο κοινός παρονομαστής (ΕΚΠ) των

\frac{1}{x}

και

\frac{1}{x + 1}

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-4.2-m2
Λύσε: $\frac{3 x ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{4}{x - 1}$ . $(x \neq = \pm 1)$
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{3 x ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{4}{x - 1}$
2. 2
  $\frac{3 x ^{2}}{x + 1} = 4$
3. 3
  $3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ . $Δ = 16 + 48 = 64$ . $x = \frac{4 \pm 8}{6}$
4. 4
  $x = 2$ ή $x = - \frac{2}{3}$ .
2Μεσαίοgg-4.2-m1
Λύσε: $\frac{1}{x + 3} = \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x - 5}$ . $(x \neq = - 3, 3, 5)$
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $\frac{Πολ}{μ ο ˊ ς}$ με $(x + 3) (x - 3) (x - 5)$ : $(x - 3) (x - 5) = 2 (x + 3) (x - 5) - (x + 3) (x - 3)$ . Ανάπτυγμα: $x^{2} - 8 x + 15 = 2 (x^{2} - 2 x - 15) - (x^{2} - 9) = x^{2} - 4 x - 21$ . Άρα $- 8 x + 15 = - 4 x - 21$
2. 2
  $x = 9$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-4.2-m1
Λύσε: $\frac{1}{x + 3} = \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x - 5}$ . $(x \neq = - 3, 3, 5)$
2Μεσαίοgg-4.2-m2
Λύσε: $\frac{3 x ^{2}}{x ^{2} - 1} = \frac{4}{x - 1}$ . $(x \neq = \pm 1)$

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε γινόμενο αλγεβρικών κλασμάτων.

Βήματα

1Παραγοντοποίησε όλους τους αριθμητές και παρονομαστές.
2Απλοποίησε (διέγραψε) κοινούς παράγοντες σταυρωτά.
3Πολλαπλασίασε ό,τι έμεινε: αριθμητές επί αριθμητές, παρονομαστές επί παρονομαστές.

Παράδειγμα

\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x} \cdot \frac{x}{x - 1} = x + 1

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 12 ασκήσεις προς λύση

1
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = 0)$ : $\frac{x}{3} \cdot \frac{9}{x ^{2}}$ .
2
Να κάνεις τις πράξεις $(a \neq = 0)$ : $\frac{2}{a} \cdot \frac{a ^{2}}{6}$ .
3
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = 0)$ : $\frac{x}{5} : \frac{x}{10}$ .
4
Να κάνεις τις πράξεις $(x, y \neq = 0)$ : $\frac{x ^{2}}{y} : \frac{x}{y ^{2}}$ .
5
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = 0)$ : $\frac{3}{x} + \frac{4}{x}$ .
6
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = 0)$ : $\frac{5}{x} - \frac{2}{x}$ .
7
Να κάνεις τις πράξεις $(x, y \neq = 0)$ : $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ .
8
Να κάνεις τις πράξεις: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ $(x \neq = 0, x \neq = - 1)$ .
9
Να κάνεις τις πράξεις: $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}$ $(x \neq = \pm 1)$ .
10
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = - 2)$ : $\frac{x + 2}{4} \cdot \frac{8}{x + 2}$ .
11
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = 0, x \neq = 1)$ : $\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x - 1}$ .
12
Να κάνεις τις πράξεις $(x \neq = - 2)$ : $\frac{x}{x + 2} + \frac{2}{x + 2}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες2 ασκήσεις

Να κάνεις τις πράξεις

(x \neq = 0)

\frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}

Να απλοποιήσεις

(x \neq = - 1, x \neq = 2)

\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x - 2}

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να κάνεις τις πράξεις

(x \neq = \pm 3)

\frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 3}

Να απλοποιήσεις το σύνθετο κλάσμα

(x \neq = 0, x \neq = 2)

\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x - 2}

Να αποδείξεις ότι

\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x ^{2} - 1}

(x \neq = \pm 1)

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{x + 3}{x ^{2} - 9} + \frac{1}{x - 3}

α) Να βρεις το πεδίο ορισμού της.

β) Να κάνεις τις πράξεις και να απλοποιήσεις.

γ) Να βρεις την τιμή της Α για

x = 5

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.10 — Πράξεις ρητών παραστάσεων

Ύλη: §1.10Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ισχύει

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

β) Ισχύει

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{x + y}

γ) Ισχύει

\frac{3}{x} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x}

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{x ^{2} - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}

(x \neq = 0, x \neq = - 1)

α) Να την απλοποιήσεις.

β) Να βρεις την τιμή της για

x = 4

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}

α) Να βρεις τον κοινό παρονομαστή και να κάνεις τις πράξεις.

β) Να δώσεις τους περιορισμούς.

📝 Επαναληπτικό Διαγώνισμα — Κεφάλαιο 1: Αλγεβρικές Παραστάσεις

Ύλη: §1.1–§1.10Διάρκεια: 45΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ισχύει

(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}

β) Ισχύει

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

γ) Σε διαίρεση πολυωνύμων, το υπόλοιπο έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο από τον διαιρέτη.

δ) Ισχύει

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

για

x \neq = 2

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = (x + 3)^{2} - (x - 1) (x + 1)

α) Να την αναπτύξεις και να την απλοποιήσεις.

β) Να παραγοντοποιήσεις το αποτέλεσμα.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται

P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

α) Να κάνεις τη διαίρεση

P (x)

(x - 2)

β) Να παραγοντοποιήσεις πλήρως το

P (x)

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{x ^{2} - 4}{x + 1} : \frac{x - 2}{x ^{2} - 1}

α) Να γράψεις τους περιορισμούς.

β) Να κάνεις τις πράξεις και να απλοποιήσεις.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Επόμενο →

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0