Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🟰Έννοια ταυτότητας

•
Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα με μεταβλητές που αληθεύει για ΟΛΕΣ τις τιμές των μεταβλητών της.
💡 Παράδειγμα:
$H x + y = 7 αληθε \overset{υ}{ˊ} ει ΜΟΝΟ για συγκεκριμ \overset{ε}{ˊ} να ζε \overset{υ}{ˊ} γη — δεν ε \overset{ι}{ˊ} ναι ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$
$H x (x + 2) = x^{2} + 2 x αληθε \overset{υ}{ˊ} ει π \overset{α}{ˊ} ντα \to ταυτ \overset{ο}{ˊ} τητα .$

📐Βασικές ταυτότητες

•
Τετράγωνο αθροίσματος: $(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$
💡 Παράδειγμα:
$(y + 4)^{2} = y^{2} + 8 y + 16.$
$(2 x + 3 y)^{2} = 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} .$
❓ Γιατί: $(α + β)^{2} = (α + β) (α + β) = α^{2} + α β + β α + β^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$ . Γεωμετρικά: τετράγωνο πλευράς $α + β = α^{2} + 2$ ορθογώνια $α β + β^{2}$ .
•
Τετράγωνο διαφοράς: $(α - β)^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}$
💡 Παράδειγμα:
$(3 x - 4 y)^{2} = 9 x^{2} - 24 x y + 16 y^{2} .$
•
Διαφορά τετραγώνων: $(α + β) (α - β) = α^{2} - β^{2}$
💡 Παράδειγμα:
$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25.$
•
Κύβος αθροίσματος: $(α + β)^{3} = α^{3} + 3 α^{2} β + 3 α β^{2} + β^{3}$
•
Κύβος διαφοράς: $(α - β)^{3} = α^{3} - 3 α^{2} β + 3 α β^{2} - β^{3}$
•
Άθροισμα κύβων: $α^{3} + β^{3} = (α + β) (α^{2} - α β + β^{2})$
•
Διαφορά κύβων: $α^{3} - β^{3} = (α - β) (α^{2} + α β + β^{2})$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(α - β)^{2} = α^{2} - β^{2}

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(α + β) (α - β) = α^{2} - β^{2}

4Σωστό / Λάθος

Ισχύει

(α + β)^{3} = α^{3} + β^{3}

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x + 3)^{2}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(2 x - 5)^{2}

;

7Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι

(x + 4) (x - 4)

;

8Πολλαπλής επιλογής

Ποια είναι η ταυτότητα που δίνει το

x^{2} - 9

ως γινόμενο;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοgg-2.3-e1
Ανάπτυξε με ταυτότητα: $(2 x + 1)^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
$(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ .
2Μεσαίοgg-2.3-m2
Υπολόγισε με τη βοήθεια ταυτότητας: 4 $1^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$ .
3Μεσαίοgg-2.3-m1
Ανάπτυξε: $(x + 1)^{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(x + 1)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ .
4Μεσαίοgg-2.3-m3
Υπολόγισε: 4 $9^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$4 9^{2} = (50 - 1)^{2} = 2500 - 100 + 1 = 2401$ .
5Μεσαίοgg-2.3-m4
Υπολόγισε: $\frac{1000 3 ^{2} - 999 7 ^{2}}{1000}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $(10003 + 9997) (10003 - 9997) = 20000 \cdot 6 = 120000$ .
2. 2
  $/1000 = 120$ .
6Εύκολοgg-2.3-e2
Ανάπτυξε: $(3 x - 2 y)^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(3 x - 2 y)^{2} = 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$ .
7Εύκολοgg-2.3-e3
Ανάπτυξε: $(x + 3) (x - 3)$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$ (διαφορά τετραγώνων).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-2.3-m1
Ανάπτυξε: $(x + 1)^{3}$ .
2Μεσαίοgg-2.3-m4
Υπολόγισε: $\frac{1000 3 ^{2} - 999 7 ^{2}}{1000}$ .
3Μεσαίοgg-2.3-m3
Υπολόγισε: 4 $9^{2}$ .
4Δύσκολοgg-2.3-h2
Αν $x + \frac{1}{x} = 2$ , να βρεις τα: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ και $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ .
5Δύσκολοgg-2.3-h1
Αν $x + y = 5$ και $x y = 6$ , να βρεις τα $x^{2} + y^{2}$ και $x^{3} + y^{3}$ .
6Μεσαίοgg-2.3-m2
Υπολόγισε με τη βοήθεια ταυτότητας: 4 $1^{2}$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε παράσταση της μορφής (α ± β)².

Βήματα

1Πρώτος όρος στο τετράγωνο: $α^{2}$ .
2Διπλό γινόμενο: ± 2αβ (το πρόσημο ακολουθεί το ± της παρένθεσης).
3Δεύτερος όρος στο τετράγωνο: $+ β^{2}$ .

Παράδειγμα

(2 x + 3 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot (3 y) + (3 y)^{2} = 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 16 ασκήσεις προς λύση

1
Να αναπτύξεις: $(x + 2)^{2}$ .
2
Να αναπτύξεις: $(x - 5)^{2}$ .
3
Να αναπτύξεις: $(3 x + 1)^{2}$ .
4
Να αναπτύξεις: $(2 a - 3 b)^{2}$ .
5
Να αναπτύξεις: $(x + 6) (x - 6)$ .
6
Να αναπτύξεις: $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .
7
Να αναπτύξεις: $(3 a + 4 b) (3 a - 4 b)$ .
8
Να αναπτύξεις: $(x + 1)^{3}$ .
9
Να αναπτύξεις: $(x - 2)^{3}$ .
10
Να γράψεις ως γινόμενο: $x^{3} + 8$ .
11
Να γράψεις ως γινόμενο: $x^{3} - 27$ .
12
Να υπολογίσεις με ταυτότητα: 10 $1^{2}$ .
13
Να υπολογίσεις με ταυτότητα: 9 $9^{2}$ .
14
Να υπολογίσεις με ταυτότητα: 103 · 97.
15
Να αναπτύξεις και να απλοποιήσεις: $(x + y)^{2} - (x - y)^{2}$ .
16
Να αναπτύξεις: $(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες2 ασκήσεις

Να αναπτύξεις και να απλοποιήσεις:

(2 x + 3)^{2} - (2 x - 3)^{2}

Αν

x + y = 5

και

x y = 6

, να βρεις την τιμή του

x^{2} + y^{2}

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Αν

α - β = 4

και

α β = 5

, να βρεις τα

α^{2} + β^{2}

και

(α + β)^{2}

Να αποδείξεις ότι

(α + β)^{2} - (α - β)^{2} = 4 α β

για κάθε α, β.

Να υπολογίσεις χωρίς πράξεις στήλης το 100

2^{2}

− 99

8^{2}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A = (x + 2)^{2} + (x - 2)^{2}

α) Να αναπτύξεις τα δύο τετράγωνα.

β) Να απλοποιήσεις την Α.

γ) Να βρεις την τιμή της Α για

x = 3

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.5 — Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Ύλη: §1.5Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ισχύει

(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}

β) Ισχύει

(α - β) (α + β) = α^{2} + β^{2}

γ) Ισχύει

(x + 1)^{2} = x^{2} + 1

δ) Ισχύει

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = (3 x - 2)^{2}

α) Να την αναπτύξεις.

β) Να υπολογίσεις με ταυτότητα το 9

8^{2}

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται ότι

x + y = 7

και

x y = 10

α) Να βρεις το

x^{2} + y^{2}

β) Να βρεις το

(x - y)^{2}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Επόμενο →

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων