Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.6 Παραγοντοποίηση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🧩Έννοια παραγοντοποίησης

•
Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία μετατροπής μιας παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο παραγόντων.
💡 Παράδειγμα:
$π R^{2} - π ρ^{2} = π (R^{2} - ρ^{2}) = π (R + ρ) (R - ρ) .$
❓ Γιατί:Χρήσιμη στην απλοποίηση κλασμάτων, την επίλυση εξισώσεων, και την εύρεση κοινών παραγόντων. Η ταυτότητα $α^{2} - β^{2} = (α + β) (α - β)$ είναι από τα πιο συχνά εργαλεία.
📎 Δες και:

🔧Μέθοδοι παραγοντοποίησης

•
Α. Κοινός παράγοντας: αν όλοι οι όροι έχουν κοινό παράγοντα, τον βγάζουμε έξω.
💡 Παράδειγμα:
$12 x^{2} y - 30 x y^{2} + 6 x^{2} y^{2} = 6 x y (2 x - 5 y + x y) .$
•
Β. Ομαδοποίηση: χωρίζουμε σε ομάδες, βγάζουμε κοινό παράγοντα από κάθε ομάδα, μετά κοινό από τις ομάδες.
💡 Παράδειγμα:
$α x + α y + 2 x + 2 y = α (x + y) + 2 (x + y) = (x + y) (α + 2) .$
•
Γ. Διαφορά τετραγώνων: $α^{2} - β^{2} = (α + β) (α - β)$
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3) .$
•
Δ. Τέλειο τετράγωνο: αναγνώριση του $α^{2} \pm 2 α β + β^{2}$ ως (α ± β)².
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2} .$
$4 x^{2} - 12 x + 9 = (2 x - 3)^{2} .$
•
Ε. Τριώνυμο $x^{2} + (α + β) x + α β$ : $x^{2} + (α + β) x + α β = (x + α) (x + β)$
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) (γιατ \overset{ι}{ˊ} 2 + 3 = 5 και 2 \cdot 3 = 6) .$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή ενός αθροίσματος σε γινόμενο παραγόντων.

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}

4Σωστό / Λάθος

Ισχύει

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 4)

5Πολλαπλής επιλογής

Να παραγοντοποιήσεις πλήρως:

6 x^{2} - 9 x

6Πολλαπλής επιλογής

Να παραγοντοποιήσεις:

x^{2} - 25

7Πολλαπλής επιλογής

Να παραγοντοποιήσεις το τριώνυμο:

x^{2} + 7 x + 12

8Πολλαπλής επιλογής

Να παραγοντοποιήσεις με ομαδοποίηση:

α x + α y + 2 x + 2 y

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-3.4-m3
Παραγοντοποίησε: $2 x^{2} - 5 x + 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Με τη μέθοδο διάσπασης: $2 x^{2} - 2 x - 3 x + 3 = 2 x (x - 1) - 3 (x - 1) = (x - 1) (2 x - 3)$ .
2Εύκολοgg-3.2-e2
Παραγοντοποίησε: $x^{2} - 100$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x^{2} - 1 0^{2} = (x + 10) (x - 10)$ .
3Μεσαίοgg-3.3-m1
Παραγοντοποίησε: $4 x^{2} + 4 x + 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(2 x + 1)^{2} = 4 x^{2} + 4 x + 1$ .
4Εύκολοgg-3.4-e2
Παραγοντοποίησε: $x^{2} + 9 x + 18$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Δύο αριθμοί με γινόμενο 18 και άθροισμα 9: 3 και 6.
2. 2
  $(x + 3) (x + 6)$ .
5Εύκολοgg-3.4-e1
Παραγοντοποίησε: $x^{2} - 7 x + 6$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ψάχνουμε δύο αριθμούς με γινόμενο 6 και άθροισμα −7: −1 και −6.
2. 2
  Άρα $(x - 1) (x - 6)$ .
6Εύκολοgg-3.3-e2
Παραγοντοποίησε: $x^{2} + 6 x + 9$ .
Λύση βήμα-βήμα
$(x + 3)^{2}$ .
7Μεσαίοgg-3.4-m1
Παραγοντοποίησε: $x^{2} + 3 x - 4$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Γινόμενο −4, άθροισμα 3: 4 και −1.
2. 2
  $(x + 4) (x - 1)$ .
8Μεσαίοgg-3.2-m1
Παραγοντοποίησε: $x^{4} - 81$ .
Λύση βήμα-βήμα
$x^{4} - 81 = (x^{2} - 9) (x^{2} + 9) = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 9)$ .
9Μεσαίοgg-3.1-m1
Παραγοντοποίησε με ομαδοποίηση: $2 x^{2} + 2 x y - 6 x - 6 y$ .
Λύση βήμα-βήμα
$2 [x^{2} + x y - 3 x - 3 y] = 2 [x (x + y) - 3 (x + y)] = 2 (x + y) (x - 3)$ .
10Μεσαίοgg-3.4-m2
Παραγοντοποίησε: $x^{2} - 12 x + 35$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Γινόμενο 35, άθροισμα −12: −5 και −7.
2. 2
  $(x - 5) (x - 7)$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-3.4-m3
Παραγοντοποίησε: $2 x^{2} - 5 x + 3$ .
2Μεσαίοgg-3.4-m1
Παραγοντοποίησε: $x^{2} + 3 x - 4$ .
3Μεσαίοgg-3.4-m2
Παραγοντοποίησε: $x^{2} - 12 x + 35$ .
4Μεσαίοgg-3.1-m1
Παραγοντοποίησε με ομαδοποίηση: $2 x^{2} + 2 x y - 6 x - 6 y$ .
5Μεσαίοgg-3.3-m2
Παραγοντοποίησε: $9 x^{2} - 12 x + 4$ .
6Μεσαίοgg-3.3-m1
Παραγοντοποίησε: $4 x^{2} + 4 x + 1$ .
7Μεσαίοgg-3.2-m1
Παραγοντοποίησε: $x^{4} - 81$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν όλοι οι όροι έχουν κοινό παράγοντα.

Βήματα

1Βρες τον ΜΚΔ των συντελεστών και τις κοινές μεταβλητές με τον μικρότερο εκθέτη.
2Βγάλε τον κοινό παράγοντα έξω από παρένθεση.
3Μέσα στην παρένθεση μένει το πηλίκο κάθε όρου με τον κοινό παράγοντα.

Παράδειγμα

12 x^{2} y - 30 x y^{2} + 6 x^{2} y^{2} = 6 x y (2 x - 5 y + x y)

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 16 ασκήσεις προς λύση

1
Να παραγοντοποιήσεις: $6 x + 9$ .
2
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} - 5 x$ .
3
Να παραγοντοποιήσεις: $4 a^{2} b - 8 a b^{2}$ .
4
Να παραγοντοποιήσεις: $12 x^{2} y - 30 x y^{2} + 6 x^{2} y^{2}$ .
5
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} - 49$ .
6
Να παραγοντοποιήσεις: $9 x^{2} - 1$ .
7
Να παραγοντοποιήσεις: $25 a^{2} - 16 b^{2}$ .
8
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} + 8 x + 16$ .
9
Να παραγοντοποιήσεις: $4 x^{2} - 12 x + 9$ .
10
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} + 5 x + 6$ .
11
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} - 7 x + 10$ .
12
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{2} + x - 12$ .
13
Να παραγοντοποιήσεις με ομαδοποίηση: $a x + a y + b x + b y$ .
14
Να παραγοντοποιήσεις με ομαδοποίηση: $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .
15
Να παραγοντοποιήσεις: $x^{3} - 8$ .
16
Να παραγοντοποιήσεις πλήρως: $2 x^{2} - 18$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες2 ασκήσεις

Να παραγοντοποιήσεις πλήρως:

3 x^{3} - 12 x

Να παραγοντοποιήσεις:

x^{2} - y^{2} + x + y

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να παραγοντοποιήσεις πλήρως:

x^{4} - 16

Να παραγοντοποιήσεις το τριώνυμο

2 x^{2} + 7 x + 3

Να παραγοντοποιήσεις:

x^{3} - x

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η παράσταση

A = x^{3} - 4 x

α) Να βγάλεις κοινό παράγοντα.

β) Να παραγοντοποιήσεις πλήρως την Α.

γ) Για ποιες τιμές του

x

μηδενίζεται η Α;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.6 — Παραγοντοποίηση

Ύλη: §1.6Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Ισχύει

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

β) Ισχύει

x^{2} + 4 = (x + 2)^{2}

γ) Ισχύει

x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}

δ) Στην παραγοντοποίηση βγάζουμε πάντα πρώτα τον κοινό παράγοντα.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A = 5 x^{2} - 20

α) Να βγάλεις κοινό παράγοντα.

β) Να την παραγοντοποιήσεις πλήρως.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται το τριώνυμο

x^{2} - 2 x - 8

α) Να το παραγοντοποιήσεις.

β) Για ποιες τιμές του

x

μηδενίζεται;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Επόμενο →

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων