Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

➗Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων

•
Για δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με $δ (x) \neq = 0$ , υπάρχουν ΜΟΝΑΔΙΚΑ πολυώνυμα π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο) τέτοια ώστε: $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$
•
Επιπλέον, ο βαθμός του υπολοίπου πρέπει να είναι ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ από τον βαθμό του διαιρέτη — ή το υπόλοιπο να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. $d e g (υ) < d e g (δ) \overset{η}{ˊ} υ (x) = 0$
❓ Γιατί:Είναι γενίκευση της ευκλείδειας διαίρεσης ακεραίων: $17 = 5 \cdot 3 + 2$ (με 2 < 5). Στον πολυωνυμικό κόσμο το «μικρότερο» αντικαθίσταται από το «μικρότερου βαθμού».
📎 Δες και:

✅Τέλεια διαίρεση

•
Όταν το υπόλοιπο είναι το μηδενικό πολυώνυμο, δηλαδή $υ (x) = 0$ , λέμε ότι η διαίρεση Δ(x) : δ(x) είναι τέλεια. $υ (x) = 0 \Rightarrow Δ (x) = δ (x) \cdot π (x)$
•
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x), ή ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x).
•
Παράδειγμα: το $x^{2} - 4$ διαιρείται τέλεια από το $x - 2$ , αφού $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ , δηλαδή υπόλοιπο 0 και πηλίκο $x + 2$ .

📋Πρακτική μέθοδος (διαίρεση κατά στήλες)

•
Τοποθετούμε τα πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις. Διαιρούμε τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρετέου με τον μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρέτη: αυτό μας δίνει τον πρώτο όρο του πηλίκου.
•
Πολλαπλασιάζουμε τον όρο που βρήκαμε με ολόκληρο τον διαιρέτη, αφαιρούμε το αποτέλεσμα από τον διαιρετέο, και συνεχίζουμε με το νέο πολυώνυμο μέχρι ο βαθμός του υπολοίπου να γίνει μικρότερος από αυτόν του διαιρέτη.
💡 Παράδειγμα:
Διαίρεση του $x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4$ με το $x - 1$ δίνει πηλίκο $π (x) = x^{2} - x + 2$ και υπόλοιπο $υ (x) = - 2$ .
$Έλεγχος : (x - 1) (x^{2} - x + 2) + (- 2) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4.$
✓
•
Πρακτική επαλήθευση: μετά τη διαίρεση, επαληθεύουμε την ταυτότητα $Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Σε διαίρεση πολυωνύμων, ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη.

2Σωστό / Λάθος

Αν το υπόλοιπο μιας διαίρεσης πολυωνύμων είναι 0, η διαίρεση είναι τέλεια.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει πάντα η ταυτότητα

Δ (x) = δ (x) \cdot π (x) + υ (x)

4Πολλαπλής επιλογής

Στη διαίρεση

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

, το υπόλοιπο είναι;

5Πολλαπλής επιλογής

Το πηλίκο της διαίρεσης

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

είναι;

6Πολλαπλής επιλογής

Ποιο από τα παρακάτω διαιρεί τέλεια το

x^{2} - 4

;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης Δ(x) : δ(x).

Βήματα

1Διάταξε και τα δύο πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις (βάλε 0 για όρους που λείπουν).
2Διαίρεσε τον μεγιστοβάθμιο όρο του Δ με τον μεγιστοβάθμιο όρο του δ → πρώτος όρος πηλίκου.
3Πολλαπλασίασε τον όρο αυτό με ολόκληρο το δ, αφαίρεσε το αποτέλεσμα.
4Επανάλαβε με το νέο πολυώνυμο μέχρι ο βαθμός του υπολοίπου να γίνει μικρότερος του δ.

Παράδειγμα

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

→πηλίκο

x^{2} - x + 2

, υπόλοιπο −2.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 9 ασκήσεις προς λύση

1
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} + 5 x + 6)$ : $(x + 2)$ .
2
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} - 9)$ : $(x - 3)$ .
3
Να κάνεις τη διαίρεση: $(2 x^{2} + 3 x - 2)$ : $(x + 2)$ .
4
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{3} - 1)$ : $(x - 1)$ .
5
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} + 2 x + 5)$ : $(x + 1)$ .
6
Να κάνεις τη διαίρεση: $(6 x^{2} - x - 2)$ : $(2 x + 1)$ .
7
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2)$ : $(x + 2)$ .
8
Να κάνεις τη διαίρεση: $(x^{2} - 5 x + 6)$ : $(x - 2)$ .
9
Να κάνεις τη διαίρεση: $(4 x^{2} - 9)$ : $(2 x - 3)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες1 ασκήσεις

Να κάνεις τη διαίρεση

(x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 4)

(x - 1)

και να γράψεις την ταυτότητα της διαίρεσης.

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να βρεις το α ώστε το πολυώνυμο

x^{2} + α x + 6

να διαιρείται τέλεια με το

x + 2

Δίνεται ότι

(x^{2} - x - 6)

(x - 3) = x + 2

. Να επαληθεύσεις και να βρεις τις ρίζες του

x^{2} - x - 6

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται το πολυώνυμο

P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6

α) Να κάνεις τη διαίρεση

P (x)

(x + 1)

β) Να γράψεις το

P (x)

ως γινόμενο παραγόντων.

γ) Ποιες είναι οι ρίζες του

P (x)

;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.7 — Διαίρεση πολυωνύμων

Ύλη: §1.7Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Στην τέλεια διαίρεση το υπόλοιπο είναι 0.

β) Ο βαθμός του υπολοίπου μπορεί να είναι ίσος με τον βαθμό του διαιρέτη.

γ) Αν

Δ = δ \cdot π + υ

με

υ = 0

, τότε το δ είναι παράγοντας του Δ.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η διαίρεση

(x^{2} + 5 x + 6)

(x + 2)

α) Να βρεις πηλίκο και υπόλοιπο.

β) Να γράψεις την ταυτότητα της διαίρεσης.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται

P (x) = x^{3} - 7 x + 6, που

διαιρείται τέλεια με το

x - 1

α) Να κάνεις τη διαίρεση

P (x)

(x - 1)

β) Να παραγοντοποιήσεις πλήρως το

P (x)

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Επόμενο →

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων