Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις›1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 1 - Αλγεβρικές παραστάσεις

§1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🧮Ορισμός & πεδίο ορισμού

•
Ρητή αλγεβρική παράσταση είναι κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή πολυώνυμα. $P \frac{x}{Q} (x), Q (x) \neq = 0$
💡 Παράδειγμα:
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}, \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 2 x - 3} .$
•
Πεδίο ορισμού: όλες οι τιμές του $x$ που ΔΕΝ μηδενίζουν τον παρονομαστή.
💡 Παράδειγμα:
$Στο \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} : πεδ \overset{ι}{ˊ} ο ορισμο \overset{υ}{ˊ} : x \neq = 2.$
❓ Γιατί:Διαίρεση με μηδέν δεν ορίζεται. Άρα πρέπει να εξαιρέσουμε όλες τις τιμές που θα μηδένιζαν τον παρονομαστή.
📎 Δες και:

✂️Απλοποίηση

•
Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή και διαγράφουμε κοινούς παράγοντες $(\neq = 0)$ .
💡 Παράδειγμα:
$\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = (x + 2) \frac{x - 2}{x - 2} = x + 2, για x \neq = 2.$
•
Προσοχή: η απλοποίηση ισχύει ΜΟΝΟ για τιμές όπου ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η παράσταση

\frac{x + 1}{x - 2}

ορίζεται για κάθε πραγματικό

x

2Σωστό / Λάθος

Το πεδίο ορισμού της

\frac{3}{x}

είναι όλοι οι πραγματικοί εκτός του 0.

3Σωστό / Λάθος

Ισχύει

\frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x + 2

για κάθε τιμή του

x

4Σωστό / Λάθος

Απλοποιούμε μια ρητή παράσταση διαγράφοντας κοινούς παράγοντες αριθμητή και παρονομαστή.

5Πολλαπλής επιλογής

Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της

\frac{5}{x - 3}

;

6Πολλαπλής επιλογής

Να απλοποιήσεις

(x \neq = - 3)

\frac{x ^{2} - 9}{x + 3}

7Πολλαπλής επιλογής

Να απλοποιήσεις

(x \neq = - 3)

\frac{2 x + 6}{x + 3}

8Πολλαπλής επιλογής

Για ποιες τιμές ΔΕΝ ορίζεται η

\frac{x}{x ^{2} - 1}

;

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-4.1-m2
Απλοποίησε: $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x ^{2} + 4 x + 4}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αριθμητής: $(x + 2) (3 x - 1)$ .
2. 2
  Παρονομαστής: $(x + 2)^{2}$ .
3. 3
  Απλοποίηση: $\frac{3 x - 1}{x + 2}$ .
2Μεσαίοgg-4.1-m1
Απλοποίησε: $\frac{2 x ^{2} - 3 x - 9}{4 x ^{2} - 9}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Αριθμητής: $(x - 3) (2 x + 3)$ .
2. 2
  Παρονομαστής: $(2 x - 3) (2 x + 3)$ .
3. 3
  Απλοποίηση: $\frac{x - 3}{2 x - 3}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοgg-4.1-h1
Απλοποίησε: $\frac{x ^{2} + 5 x - 6}{3 x ^{2} - 5 x + 2}$ .
2Μεσαίοgg-4.1-m1
Απλοποίησε: $\frac{2 x ^{2} - 3 x - 9}{4 x ^{2} - 9}$ .
3Μεσαίοgg-4.1-m2
Απλοποίησε: $\frac{3 x ^{2} + 5 x - 2}{x ^{2} + 4 x + 4}$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται «για ποιες τιμές ορίζεται» μια ρητή παράσταση.

Βήματα

1Εντόπισε τον παρονομαστή.
2Θέσε τον παρονομαστή $\neq = 0$ και λύσε.
3Το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί εκτός από αυτές τις τιμές.

Παράδειγμα

Για την

\frac{x}{x - 4}

x - 4 \neq = 0

⇔

x \neq = 4

Πεδίο ορισμού: κάθε πραγματικός εκτός του 4.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 12 ασκήσεις προς λύση

1
Να βρεις το πεδίο ορισμού της $\frac{1}{x - 5}$ .
2
Να βρεις το πεδίο ορισμού της $\frac{x}{x + 2}$ .
3
Να βρεις το πεδίο ορισμού της $\frac{3}{x ^{2} - 9}$ .
4
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ .
5
Να απλοποιήσεις: $\frac{3 x + 9}{x + 3}$ .
6
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} - 2 x + 1}$ .
7
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{2} + 5 x + 6}{x + 2}$ .
8
Να απλοποιήσεις: $\frac{2 x ^{2} - 8}{x - 2}$ .
9
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{3} - x}{x ^{2} - 1}$ .
10
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{2} - x - 6}{x - 3}$ .
11
Να απλοποιήσεις: $\frac{4 x ^{2} - 1}{2 x + 1}$ .
12
Να απλοποιήσεις: $\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} + 6 x + 9}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες2 ασκήσεις

Να απλοποιήσεις την

\frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x ^{2} - 4}

και να δώσεις τους περιορισμούς.

Να απλοποιήσεις την

\frac{x ^{3} - 8}{x ^{2} - 4}

💎Πολύ δύσκολες2 ασκήσεις

Να απλοποιήσεις την

\frac{2 x ^{2} + 5 x + 3}{x ^{2} - 1}

Για ποιες τιμές του

x

ΔΕΝ ορίζεται η

\frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - x - 6}

και σε τι απλοποιείται;

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η ρητή παράσταση

A =

\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x ^{2} - 4}

α) Να βρεις το πεδίο ορισμού της.

β) Να την απλοποιήσεις.

γ) Να βρεις την τιμή της Α για

x = 0

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Διαγώνισμα §1.9 — Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Ύλη: §1.9Διάρκεια: 15΄

ΘΕΜΑ Α

Χαρακτήρισε τις προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος.

α) Η

\frac{1}{x}

ορίζεται για

x = 0

β) Ισχύει

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

για

x \neq = 1

γ) Απλοποιούμε ένα κλάσμα διαγράφοντας κοινούς όρους (όχι παράγοντες).

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{x ^{2} - 16}{x + 4}

α) Να βρεις το πεδίο ορισμού της.

β) Να την απλοποιήσεις.

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η παράσταση

A =

\frac{3 x + 6}{x ^{2} - 4}

α) Να παραγοντοποιήσεις αριθμητή και παρονομαστή.

β) Να την απλοποιήσεις και να δώσεις τους περιορισμούς.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🧮 Quiz · Αλγεβρικές παραστάσεις

← Προηγούμενο

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

Επόμενο →

1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων