Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων›3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Γυμνασίου · Κεφ. 3 - Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

§3.3 Αλγεβρικές μέθοδοι επίλυσης

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🔁Μέθοδος αντικατάστασης

•
1) Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο. 2) Αντικαθιστούμε στην άλλη. 3) Λύνουμε ως προς τον υπόλοιπο άγνωστο. 4) Επιστρέφουμε για τον πρώτο.
💡 Παράδειγμα:
${x + y = 5, 2 x - y = 1} : απ \overset{ο}{ˊ} την πρ \overset{ω}{ˊ} τη y = 5 - x, αντικαθιστο \overset{υ}{ˊ} με : 2 x - (5 - x) = 1 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2, y = 3.$

➖Μέθοδος αντίθετων συντελεστών

•
Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι συντελεστές ενός αγνώστου να γίνουν αντίθετοι, και κατόπιν προσθέτουμε κατά μέλη για να εξαλειφθεί.
💡 Παράδειγμα:
${2 x + 3 y = 8, 3 x - 2 y = 1}$ : πολλαπλασιάζουμε την πρώτη με 2 και τη δεύτερη με 3⇔ ${4 x + 6 y = 16, 9 x - 6 y = 3}$ .
$Πρ \overset{ο}{ˊ} σθεση κατ \overset{α}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} λη : 13 x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{13} .$
Αντικαθιστούμε για $y$ .

🔍Διερεύνηση

•
Αν κατά την επίλυση καταλήξουμε σε σχέση $0 = κ$ με $κ \neq = 0$ → σύστημα αδύνατο.
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} {x + y = 2, x + y = 5} : αφαιρ \overset{ω}{ˊ} ντας 0 = 3, \overset{α}{ˊ} τοπο .$
•
Αν καταλήξουμε σε $0 = 0$ → σύστημα αόριστο (άπειρες λύσεις).
💡 Παράδειγμα:
Από ${x + y = 3, 2 x + 2 y = 6}$ : η δεύτερη είναι 2 φορές η πρώτη — αφαιρώντας προκύπτει $0 = 0$ .
❓ Γιατί:Αυτές οι τρεις περιπτώσεις (μοναδική λύση / αδύνατο / αόριστο) αντιστοιχούν στα τρία γεωμετρικά σενάρια τομής ευθειών (§3.2).
📎 Δες και:

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στη μέθοδο της αντικατάστασης λύνουμε πρώτα τη μία εξίσωση ως προς έναν άγνωστο.

2Σωστό / Λάθος

Αν κατά την επίλυση καταλήξουμε σε

0 = 0

, το σύστημα είναι αδύνατο.

3Πολλαπλής επιλογής

Λύσε το

x + y = 5, 2 x - y = 1

4Πολλαπλής επιλογής

Στο

x + y = 5, 2 x - y = 1

, προσθέτοντας κατά μέλη παίρνουμε:

5Πολλαπλής επιλογής

Στη μέθοδο αντικατάστασης, από την

x + y = 5

λύνουμε ως προς

y

6Πολλαπλής επιλογής

Το

x + y = 2, x + y = 5

στην αλγεβρική επίλυση δίνει:

7Πολλαπλής επιλογής

Στο

2 x + 3 y = 8, 3 x - 2 y = 1

, για να φύγει το

y

με αντίθετους συντελεστές πολλαπλασιάζουμε την 1η επί

2

και τη 2η επί:

8Σωστό / Λάθος

Η αντικατάσταση και οι αντίθετοι συντελεστές δίνουν την ίδια λύση για το ίδιο σύστημα.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοgg-6.1-m2
Εξέτασε το σύστημα: $2 x - y = 4$ και $- 4 x + 2 y = - 8$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η 2η είναι −2 φορές την 1η.
2. 2
  Αόριστο σύστημα: άπειρες λύσεις πάνω στην ευθεία $y = 2 x - 4$ .
2Μεσαίοgg-6.1-m3
Εξέτασε το σύστημα: $x + y = 2$ και $2 x + 2 y = 7$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η 2η δίνει $x + y = 3, 5$ . Σύγκρουση με $x + y = 2$
2. 2
  σύστημα αδύνατο.
3Μεσαίοgg-6.1-m1
Λύσε με αντικατάσταση: $x - 3 y = 0, x + 2 y = 15$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από 1η: $x = 3 y$ . Στη 2η: $3 y + 2 y = 15$
2. 2
  $y = 3, x = 9$ .
4Εύκολοgg-6.1-e1
Λύσε το σύστημα: $x + y = 5, x - y = 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρόσθεση: $2 x = 6$
2. 2
  $x = 3$ . Άρα $y = 2$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοgg-6.1-m3
Εξέτασε το σύστημα: $x + y = 2$ και $2 x + 2 y = 7$ .
2Μεσαίοgg-6.1-m1
Λύσε με αντικατάσταση: $x - 3 y = 0, x + 2 y = 15$ .
3Μεσαίοgg-6.1-m2
Εξέτασε το σύστημα: $2 x - y = 4$ και $- 4 x + 2 y = - 8$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

← Προηγούμενο

3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

Επόμενο →

4.1 Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0