Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί›2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί

§2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔢Οι πραγματικοί αριθμοί: ρητοί & άρρητοι

•
Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα — του άξονα των πραγματικών αριθμών. $N \subset Z \subset Q \subset R$
•
Ρητός: αριθμός που έχει (ή μπορεί να πάρει) κλασματική μορφή $\frac{α}{β}$ , όπου α, β ακέραιοι με $β \neq = 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$\frac{14}{5} = 2, 8.$
$- \frac{9}{8} = - 1, 125.$
$\frac{60}{11} = 5, 4545 \dots (περιοδικ \overset{ο}{ˊ} ς) .$
Κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή.
❓ Γιατί:Οι ρητοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς. Π.χ. 2,323232… (περίοδος 32) = $\frac{230}{99}$ .
📎 Δες και:
•
Άρρητος: αριθμός που ΔΕΝ μπορεί να γραφτεί ως $\frac{α}{β}$ με ακέραιους $α, β (β \neq = 0)$ . Δεν είναι ούτε δεκαδικός ούτε περιοδικός δεκαδικός.
💡 Παράδειγμα:
$2, 3, π, e — \overset{α}{ˊ} ρρητοι .$

⚙️Πράξεις & ιδιότητες πρόσθεσης / πολλαπλασιασμού

•
Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Με τη βοήθειά τους ορίστηκαν η αφαίρεση και η διαίρεση.
•
Αντιμεταθετική στην πρόσθεση: $α + β = β + α$
•
Αντιμεταθετική στον πολλαπλασιασμό: $α \cdot β = β \cdot α$
•
Προσεταιριστική στην πρόσθεση: $α + (β + γ) = (α + β) + γ$
•
Προσεταιριστική στον πολλαπλασιασμό: $α \cdot (β \cdot γ) = (α \cdot β) \cdot γ$
•
Ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το 0: $α + 0 = α$
•
Ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού είναι το 1: $α \cdot 1 = α$
•
Κάθε πραγματικός α έχει αντίθετο −α, και το άθροισμά τους είναι 0: $α + (- α) = 0$
•
Κάθε μη μηδενικός α έχει αντίστροφο $\frac{1}{α}$ , και το γινόμενό τους είναι 1: $α \cdot (\frac{1}{α}) = 1 (α \neq = 0)$
•
Επιμεριστική: $α \cdot (β + γ) = α \cdot β + α \cdot γ$
❓ Γιατί:Η αντιμεταθετική και η προσεταιριστική επιτρέπουν να «ανακατεύουμε» αυθαίρετα τους όρους ενός αθροίσματος ή ενός γινομένου με πολλούς παράγοντες — το αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

➗Αφαίρεση & διαίρεση — ορισμοί

•
Αφαίρεση: ορίζεται με τη βοήθεια της πρόσθεσης — προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. $α - β = α + (- β)$
•
Διαίρεση: ορίζεται με τη βοήθεια του πολλαπλασιασμού — πολλαπλασιάζουμε με τον αντίστροφο του διαιρέτη. $\frac{α}{β} = α \cdot (\frac{1}{β}), β \neq = 0$
•
Σημείωση: διαίρεση με διαιρέτη το 0 δεν ορίζεται. Όταν γράφουμε $\frac{α}{β}$ , εννοείται ότι $β \neq = 0$ .

🟰Ιδιότητες ισοτήτων

•
(α = β και γ = δ) ⇒ $α + γ = β + δ$ . Δύο ισότητες μπορούν να προστεθούν κατά μέλη. $α = β, γ = δ \Rightarrow α + γ = β + δ$
•
(α = β και γ = δ) ⇒ $α \cdot γ = β \cdot δ$ . Δύο ισότητες πολλαπλασιάζονται κατά μέλη.
•
$α = β$ ⇔ $α + γ = β + γ$ . Προσθέτουμε/αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό στα δύο μέλη.
$α = β$ $⟺ α + γ = β + γ$
•
Αν $γ \neq = 0$ : $α = β$ ⇔ $α \cdot γ = β \cdot γ$ . Πολλαπλασιάζουμε/διαιρούμε και τα δύο μέλη με μη μηδενικό αριθμό.
$α = β$ $⟺ α \cdot γ = β \cdot γ (γ \neq = 0)$
•
$α \cdot β = 0$ ⇔ $α = 0$ ή $β = 0$ . Γινόμενο μηδέν σημαίνει τουλάχιστον ένας παράγοντας μηδέν. Συνέπεια: $α \cdot β \neq = 0$ ⇔ $α \neq = 0$ και $β \neq = 0$ .
$α \cdot β = 0$ $⟺ α = 0 \overset{η}{ˊ} β = 0$
❓ Γιατί:Σχόλιο: όταν διαγράφουμε τον ίδιο παράγοντα από τα δύο μέλη μιας ισότητας, πρέπει να ΕΛΕΓΧΟΥΜΕ ότι αυτός ΔΕΝ είναι 0 — διαφορετικά μπορεί να καταλήξουμε σε άτοπο.

🔼Δυνάμεις πραγματικών

•
Για πραγματικό α και φυσικό ν με $ν > 1$ : $α^{n} = α \cdot α \cdot$ … · α (ν παράγοντες). Επίσης $α^{1} = α$ . $α^{n} = α \cdot α \cdot \dots \cdot α (ν παρ \overset{α}{ˊ} γοντες)$
•
Μηδενικός εκθέτης: για $α \neq = 0$ ορίζουμε $α^{0} = 1 (α \neq = 0)$
•
Αρνητικός εκθέτης: για $α \neq = 0$ ορίζουμε $α^{- n} = \frac{1}{α ^{n}} (α \neq = 0)$
•
Σχόλιο: αν $α = β$ τότε $α^{n} = β^{n}$ , αλλά ΔΕΝ ισχύει το αντίστροφο (π.χ. $(- 2)^{2} = 2^{2}$ αλλά −2 ≠ 2).
❓ Γιατί:Η ύψωση σε άρτια δύναμη «εξαφανίζει» το πρόσημο — γι' αυτό από $α^{n} = β^{n} δεν$ μπορούμε να συμπεράνουμε $α = β$ όταν ν άρτιος.
•
Γινόμενο δυνάμεων με την ίδια βάση — προσθέτουμε εκθέτες: $α^{μ} \cdot α^{ν} = α^{μ + ν}$
❓ Γιατί:Όλες οι ιδιότητες προκύπτουν από τον ορισμό της δύναμης ως επαναλαμβανόμενο γινόμενο και είναι οι ίδιες που γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο — απλά τώρα ισχύουν για κάθε πραγματικό α.
📎 Δες και:
•
Πηλίκο δυνάμεων με την ίδια βάση — αφαιρούμε εκθέτες: $\frac{α ^{μ}}{α ^{ν}} = α^{(} μ - ν) (α \neq = 0)$
•
Δύναμη δύναμης — πολλαπλασιάζουμε εκθέτες: $(α^{μ})^{ν} = α^{μ \cdot ν}$
•
Γινόμενο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη: $α^{ν} \cdot β^{ν} = (α \cdot β)^{ν}$
•
Πηλίκο δυνάμεων με τον ίδιο εκθέτη: $(\frac{α}{β})^{ν} = \frac{α ^{ν}}{β ^{ν}} (β \neq = 0)$

✨Αξιοσημείωτες ταυτότητες

•
Ταυτότητα είναι κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τους.
•
Τετράγωνο αθροίσματος: $(α + β)^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}$
•
Τετράγωνο διαφοράς: $(α - β)^{2} = α^{2} - 2 α β + β^{2}$
•
Διαφορά τετραγώνων: $α^{2} - β^{2} = (α + β) (α - β)$
•
Κύβος αθροίσματος: $(α + β)^{3} = α^{3} + 3 α^{2} β + 3 α β^{2} + β^{3}$
•
Κύβος διαφοράς: $(α - β)^{3} = α^{3} - 3 α^{2} β + 3 α β^{2} - β^{3}$
•
Άθροισμα κύβων: $α^{3} + β^{3} = (α + β) (α^{2} - α β + β^{2})$
•
Διαφορά κύβων: $α^{3} - β^{3} = (α - β) (α^{2} + α β + β^{2})$
•
Τετράγωνο τριωνύμου: $(α + β + γ)^{2} = α^{2} + β^{2} + γ^{2} + 2 α β + 2 β γ + 2 γ α$

➡️Μέθοδος 1: Ευθεία απόδειξη

•
Ξεκινάμε από την υπόθεση και με διαδοχικά βήματα καταλήγουμε στο συμπέρασμα. Είναι η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε στο Γυμνάσιο για ταυτότητες.
💡 Παράδειγμα:
$Π. χ . (α + β)^{2} = (α + β) (α + β) [ορισμ \overset{ο}{ˊ} ς] = α (α + β) + β (α + β) [επιμεριστικ \overset{η}{ˊ}] = α^{2} + α β + β α + β^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2} .$
•
Παράδειγμα (από βιβλίο): Αν $α + β + γ = 0$ , τότε $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 3 α β γ$ .
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Αφο \overset{υ}{ˊ} α + β + γ = 0, \overset{ε}{ˊ} χουμε α = - (β + γ) . Τ \overset{ο}{ˊ} τε$ $⟺ α^{3} + β^{3} + γ^{3} = [- (β + γ)]^{3} + β^{3} + γ^{3}$ $⟺ = - (β + γ)^{3} + β^{3} + γ^{3}$ $⟺ = - β^{3} - 3 β^{2} γ - 3 β γ^{2} - γ^{3} + β^{3} + γ^{3} = - 3 β γ (β + γ) = 3 α β γ (αφο \overset{υ}{ˊ} β + γ = - α) .$
•
Σχόλιο: για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός ΔΕΝ είναι αληθής, αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα.
💡 Παράδειγμα:
Ο ισχυρισμός «για κάθε $α > 0$ ισχύει $α^{2} >$ α» δεν είναι αληθής: για $α = \frac{1}{2}$ έχουμε $α^{2} = \frac{1}{4} < α$ .

🔄Μέθοδος 2: Απαγωγή σε άτοπο

•
Υποθέτουμε ότι ΔΕΝ ισχύει αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και, χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις, οδηγούμαστε σε αντίφαση (άτοπο). Άρα η αρχική παραδοχή ήταν λάθος — άρα το αρχικό ισχύει.
•
Παράδειγμα (από βιβλίο): Αν $α^{2}$ είναι άρτιος, τότε ο α είναι άρτιος.
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη (απαγωγ \overset{η}{ˊ} σ ε \overset{α}{ˊ} τοπο) : Έστω \overset{ο}{ˊ} τι ο α δεν ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτιος, \overset{α}{ˊ} ρα ε \overset{ι}{ˊ} ναι περιττ \overset{ο}{ˊ} ς : α = 2 κ + 1. Τ \overset{ο}{ˊ} τε$ $⟺ α^{2} = (2 κ + 1)^{2} = 4 κ^{2} + 4 κ + 1 = 2 (2 κ^{2} + 2 κ) + 1 = 2 λ + 1$ $⟺ που σημα \overset{ι}{ˊ} νει \overset{ο}{ˊ} τι ο α^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι περιττ \overset{ο}{ˊ} ς — ΑΤΟΠΟ (αντ \overset{ι}{ˊ} θετο μ ε την υπ \overset{ο}{ˊ} θεση) . Άρα ο α ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτιος .$
•
Εφαρμογή — απόδειξη ότι ο $2$ είναι άρρητος.
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Έστω \overset{ο}{ˊ} τι ο 2 ε \overset{ι}{ˊ} ναι ρητ \overset{ο}{ˊ} ς . Τ \overset{ο}{ˊ} τε 2 = \frac{κ}{λ} μ ε κ, λ θετικο \overset{υ}{ˊ} ς ακ \overset{ε}{ˊ} ραιους και \frac{κ}{λ} αν \overset{α}{ˊ} γωγο . Υψ \overset{ω}{ˊ} νοντας στο τετρ \overset{α}{ˊ} γωνο : 2 = \frac{κ ^{2}}{λ ^{2}}$ $⟺ κ^{2} = 2 λ^{2} . Άρα ο κ^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτιος, οπ \overset{ο}{ˊ} τε και ο κ ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτιος : κ = 2 μ . Τ \overset{ο}{ˊ} τε$ $⟺ (2 μ)^{2} = 2 λ^{2}$ $⟺ 4 μ^{2} = 2 λ^{2}$ $⟺ λ^{2} = 2 μ^{2} . Άρα ο λ^{2} (και ο λ) ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτιος . Αλλ \overset{α}{ˊ} αν οι κ, λ ε \overset{ι}{ˊ} ναι ΚΑΙ οι δ \overset{υ}{ˊ} ο \overset{α}{ˊ} ρτιοι, τ ο κλ \overset{α}{ˊ} σμα \frac{κ}{λ} δεν ε \overset{ι}{ˊ} ναι αν \overset{α}{ˊ} γωγο — ΑΤΟΠΟ . Άρα ο 2 ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρρητος .$
❓ Γιατί:Η ίδια απόδειξη γίνεται και για $3$ , $5$ , …, και για κάθε $n$ όπου $n$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτή ήταν μία από τις σπουδαιότερες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων — και ταυτόχρονα ένα φιλοσοφικό σοκ για την εποχή τους.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα

\frac{α}{β}

με

α, β

ακέραιους και

β \neq = 0

2Σωστό / Λάθος

2

είναι ρητός αριθμός.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρρητος;

4Σωστό / Λάθος

Αν

α^{2} = β^{2}

, τότε υποχρεωτικά

α = β

5Πολλαπλής επιλογής

Το ανάπτυγμα του

(α + β)^{2}

είναι:

6Πολλαπλής επιλογής

Η παράσταση

α^{2} - β^{2}

ισούται με:

7Σωστό / Λάθος

Δύο αριθμοί είναι αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους ισούται με

1

8Σωστό / Λάθος

Αν

α \cdot β = 0

, τότε

α = 0

β = 0

9Πολλαπλής επιλογής

Για

α \neq = 0

ισχύει

α^{0} =

10Πολλαπλής επιλογής

Η παράσταση

\frac{5}{0}

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-2.1-m1
Αν $α, β \neq = 0$ και $(α + β) (\frac{1}{α} + \frac{1}{β}) = 4$ , να δείξεις ότι $\frac{α}{β} + \frac{β}{α} = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ανάπτυξη: $1 + \frac{α}{β} + \frac{β}{α} + 1 = 4$
2. 2
  $\frac{α}{β} + \frac{β}{α} = 2$ .
2Εύκολοla-2.1-e2
Αν $α + β = 5$ και $α β = 6$ , βρες το $α^{3} + β^{3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β) = 125 - 90 = 35$ .
3Μεσαίοla-2.1-m3
Βρες $x$ , $y$ ώστε $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 17 = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Γράφεται $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 0$ . Άθροισμα μη αρνητικών $= 0$
2. 2
  $x = 1$ και $y = 4$ .
4Μεσαίοla-2.1-m2
Δείξε ότι $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 17$ .
Λύση βήμα-βήμα
Ανάπτυξη: $(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 8 y + 16) = x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 17$ .
5Εύκολοla-2.1-e1
Αν $α + β = 5$ και $α β = 6$ , βρες το $α^{2} + β^{2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 25 - 12 = 13$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-2.1-m1
Αν $α, β \neq = 0$ και $(α + β) (\frac{1}{α} + \frac{1}{β}) = 4$ , να δείξεις ότι $\frac{α}{β} + \frac{β}{α} = 2$ .
2Μεσαίοla-2.1-m2
Δείξε ότι $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 17$ .
3Μεσαίοla-2.1-m3
Βρες $x$ , $y$ ώστε $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 17 = 0$ .
4Δύσκολοla-2.1-h1
Αν $α + β + γ = 0$ και $αβγ \neq = 0$ , να αποδείξεις ότι $α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 3 α β γ$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν θέλεις να αναπτύξεις ένα τετράγωνο/κύβο ή να παραγοντοποιήσεις μια παράσταση.

Βήματα

1Αναγνώρισε τη μορφή: $(α \pm β)^{2}$ , $α^{2} - β^{2}$ , $(α \pm β)^{3}$ , $α^{3} \pm β^{3}$ .
2Για ανάπτυξη εφάρμοσε τον τύπο· για παραγοντοποίηση «διάβασέ» τον ανάποδα.
3Επαλήθευσε γρήγορα το αποτέλεσμα βάζοντας απλές αριθμητικές τιμές.

Παράδειγμα

(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9

και αντίστροφα

x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να αναπτύξετε το $(x + 5)^{2}$ .
2
Να αναπτύξετε το $(2 x - 3)^{2}$ .
3
Να παραγοντοποιήσετε το $x^{2} - 16$ .
4
Να παραγοντοποιήσετε το $x^{2} - 10 x + 25$ .
5
Να παραγοντοποιήσετε το $x^{3} - 8$ .
6
Είναι ρητός ή άρρητος ο $16$ ;
7
Να υπολογίσετε το $(- 3)^{0} + 2^{- 2}$ .
8
Πώς λέγονται δύο αριθμοί με άθροισμα $0$ ;
9
Να λύσετε την εξίσωση $(x - 2) (x + 5) = 0$ .
10
Να απλοποιήσετε την παράσταση $(α + β)^{2} - (α - β)^{2}$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι

(α + β)^{2} + (α - β)^{2} = 2 (α^{2} + β^{2})

Αν

α + β = 5

και

α β = 6

, να βρείτε την τιμή του

α^{2} + β^{2}

Να αποδείξετε ότι

x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = (x - 1)^{2} + (y + 4)^{2}

και να λύσετε την εξίσωση

x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 17 = 0

Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς την εξίσωση

x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 10 = 0

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Αν

α + β + γ = 0

, να αποδείξετε ότι

α^{3} + β^{3} + γ^{3} = 3 α β γ

Να αποδείξετε ότι ο

3

είναι άρρητος.

Αν

α \neq = 0

και

α + \frac{1}{α} = 3

, να βρείτε την τιμή του

α^{2} + \frac{1}{α ^{2}}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί

α, β

με

α + β = 4

και

α β = 3

α) Να βρείτε το

α^{2} + β^{2}

β) Να βρείτε το

(α - β)^{2}

γ) Να βρείτε το

α^{3} + β^{3}

δ) Να βρείτε το

\frac{1}{α} + \frac{1}{β}

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.1 Οι πράξεις & ιδιότητες

Ύλη: §2.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: ο

2

είναι ρητός αριθμός.

β) Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι;

ΘΕΜΑ Β

α) Να αναπτύξετε το

(x - 4)^{2}

β) Να λύσετε την εξίσωση

x^{2} - 9 = 0

ΘΕΜΑ Γ

Αν

α + β = 6

και

α β = 8

, να βρείτε το

α^{2} + β^{2}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

➕ Quiz · Πραγματικοί Αριθμοί

← Προηγούμενο

1.2 Έννοια της Πιθανότητας

Επόμενο →

2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών