Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί›2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί

§2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

↔️Έννοια διάταξης — ορισμός

•
Ορισμός: Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β, και γράφουμε $α > β$ , όταν η διαφορά α − β είναι θετικός αριθμός.
$α > β$ $⟺ α - β > 0$
💡 Παράδειγμα:
$7 > 3 γιατ \overset{ι}{ˊ} 7 - 3 = 4 > 0.$
•
Στην περίπτωση αυτή λέμε επίσης ότι ο β είναι μικρότερος του α και γράφουμε $β < α$ .
•
Άμεσες συνέπειες: κάθε θετικός αριθμός είναι $> 0$ . Κάθε αρνητικός είναι $< 0$ .
$α > 0$ $⟺ α θετικ \overset{ο}{ˊ} ς α < 0$ $⟺ α αρνητικ \overset{ο}{ˊ} ς$
•
Γεωμετρική ερμηνεία: η ανισότητα $α > β$ σημαίνει ότι, πάνω στον άξονα των πραγματικών, ο α βρίσκεται δεξιότερα από τον β.
❓ Γιατί:«Γιατί χρειαζόμαστε αυτό το κεφάλαιο;» Πολλά προβλήματα ζητούν εύρος τιμών (π.χ. «η τιμή του $x$ κινείται μεταξύ −2 και 5»). Η διάταξη μάς δίνει τα εργαλεία για να τα χειριστούμε αυστηρά και να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα.
•
Όταν ισχύει $α > β$ ή $α = β$ , γράφουμε $α \geq β$ και διαβάζουμε «α μεγαλύτερος ή ίσος του β».

⊕Πρόσημο: ομόσημοι, ετερόσημοι, τετράγωνο

•
Από τον τρόπο εκτέλεσης των πράξεων προκύπτει: $(α > 0 και β > 0) \Rightarrow α + β > 0 (α < 0 και β < 0) \Rightarrow α + β < 0$
•
Ομόσημοι ⇔ γινόμενο/πηλίκο θετικό. Ετερόσημοι ⇔ γινόμενο/πηλίκο αρνητικό.
$α, β ομ \overset{ο}{ˊ} σημοι$ $⟺ α \cdot β > 0$ $⟺ \frac{α}{β} > 0$
•
Το τετράγωνο κάθε πραγματικού είναι μη αρνητικό. $α^{2} \geq 0 για κ \overset{α}{ˊ} θε α \in R (ισ \overset{ο}{ˊ} τητα μ \overset{ο}{ˊ} νο \overset{ο}{ˊ} ταν α = 0)$
•
Συνέπειες:
$α^{2} + β^{2} = 0$ $⟺ α = 0 και β = 0 α^{2} + β^{2} > 0$ $⟺ α \neq = 0 \overset{η}{ˊ} β \neq = 0$
❓ Γιατί:Άθροισμα τετραγώνων μηδενίζεται μόνο όταν ΟΛΟΙ οι όροι είναι 0. Χρήσιμο για να αποδείξουμε ότι δύο μεγέθη είναι ταυτόχρονα 0.

⚖️Ιδιότητες ανισοτήτων

•
1) Μεταβατική: (α > β και β > γ) ⇒ $α > γ$ . $(α > β και β > γ) \Rightarrow α > γ$
•
2α) Πρόσθεση ίδιου αριθμού (διατηρείται η φορά):
$α > β$ $⟺ α + γ > β + γ$
•
2β) Πολλαπλασιασμός με ΘΕΤΙΚΟ (διατηρείται η φορά):
$Αν γ > 0 : α > β$ $⟺ α \cdot γ > β \cdot γ$
•
2γ) Πολλαπλασιασμός με ΑΡΝΗΤΙΚΟ (ΑΝΤΙΣΤΡΕΦΕΤΑΙ η φορά):
$Αν γ < 0 : α > β$ $⟺ α \cdot γ < β \cdot γ$
❓ Γιατί:Είναι ο πιο ύπουλος κανόνας στις ανισώσεις — όταν διαιρείς ή πολλαπλασιάζεις με αρνητικό, ΑΛΛΑΖΕΙ η φορά. Π.χ. $2 < 3$ αλλά $- 2 > - 3$ .
📎 Δες και:
•
3α) Πρόσθεση κατά μέλη (ίδιας φοράς): $(α > β και γ > δ) \Rightarrow α + γ > β + δ$
💡 Παράδειγμα:
$Π. χ . (10 > 6 και 7 > 2) \Rightarrow 10 + 7 > 6 + 2 (17 > 8 ✓) .$
$ΟΜΩΣ : η αφα \overset{ι}{ˊ} ρεση κατ \overset{α}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} λη ΔΕΝ ισχ \overset{υ}{ˊ} ει : 10 - 7 < 6 - 2.$
•
3β) Πολλαπλασιασμός κατά μέλη (θετικοί όροι, ίδιας φοράς): $Για θετικο \overset{υ}{ˊ} ς : (α > β και γ > δ) \Rightarrow α \cdot γ > β \cdot δ$
💡 Παράδειγμα:
$Π. χ . (3 > 2 και 5 > 4) \Rightarrow 3 \cdot 5 > 2 \cdot 4 (15 > 8 ✓) .$
ΟΜΩΣ: η διαίρεση κατά μέλη ΔΕΝ ισχύει γενικά.
•
4) Ύψωση σε δύναμη (θετικοί όροι):
$Για θετικο \overset{υ}{ˊ} ς α, β και θετικ \overset{ο}{ˊ} ακ \overset{ε}{ˊ} ραιο ν : α > β$ $⟺ α^{n} > β^{n}$
📐 Απόδειξη:
Απόδειξη: (⇒) Από την ιδιότητα 3β με όλους τους όρους ίσους: αν $α > β > 0$ , πολλαπλασιάζοντας ν φορές κατά μέλη παίρνουμε $α^{n} > β^{n}$ .
$(\Leftarrow) M ε απαγωγ \overset{η}{ˊ} σ ε \overset{α}{ˊ} τοπο : \overset{ε}{ˊ} στω α^{n} > β^{n} και α \leq β .$
$Αν α = β, τ \overset{ο}{ˊ} τε α^{n} = β^{n} \overset{α}{ˊ} τοπο .$
$Αν α < β, μ ε τ ο \overset{ι}{ˊ} διο επιχε \overset{ι}{ˊ} ρημα α^{n} < β^{n} \overset{α}{ˊ} τοπο .$
$Άρα α > β .$
❓ Γιατί:Συνέπεια: για θετικούς α, β και θετικό ακέραιο ν: $α = β$ ⇔ $α^{n} = β^{n}$ .

📏Διαστήματα — πλήρες λεξιλόγιο

•
Κλειστό διάστημα [α, β]: όλοι οι $x$ με $α \leq x \leq β$ . Περιλαμβάνει τα άκρα. $[α, β] = {x \in R : α \leq x \leq β}$
•
Ανοικτό διάστημα (α, β): όλοι οι $x$ με $α < x < β$ . ΔΕΝ περιλαμβάνει τα άκρα. $(α, β) = {x \in R : α < x < β}$
•
$Ημι -$ ανοιχτά: [α, β) (ανοικτό δεξιά, α ≤ $x$ < β) και (α, β] (ανοικτό αριστερά, α < $x$ ≤ β).
•
Άπειρα διαστήματα: (α, +∞), [α, +∞), (−∞, α), (−∞, α]. Τα σύμβολα +∞ και −∞ ΔΕΝ είναι πραγματικοί αριθμοί.
💡 Παράδειγμα:
$[2, + \infty) = \overset{ο}{ˊ} λοι οι x \geq 2.$
$(- \infty, 3) = \overset{ο}{ˊ} λοι οι x < 3.$
•
Πίνακας μορφών διαστημάτων: $[α, β] α \leq x \leq β [α, β) α \leq x < β (α, β] α < x \leq β (α, β) α < x < β [α, + \infty) x \geq α (α, + \infty) x > α (- \infty, α] x \leq α (- \infty, α) x < α$
❓ Γιατί:Στη γραφική παράσταση: κλειστό άκρο = γεμάτος κύκλος, ανοιχτό άκρο = κενός κύκλος. Στα άπειρα άκρα πάντα ανοιχτή παρένθεση.

💡Εφαρμογές

•
Εφαρμογή 1: Αν α, β ομόσημοι, τότε $α < β$ ⇔ $\frac{1}{α} > \frac{1}{β}$ .
💡 Παράδειγμα:
$0 < 2 < 5 \Rightarrow \frac{1}{2} > \frac{1}{5} .$
$- 5 < - 2 < 0 \Rightarrow - \frac{1}{5} > - \frac{1}{2} .$
•
Εφαρμογή 2: Για όλους τους πραγματικούς α, β ισχύει $α^{2} + β^{2} \geq 2 α β$ .
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : α^{2} + β^{2} \geq 2 α β$ $⟺ α^{2} - 2 α β + β^{2} \geq 0$ $⟺ (α - β)^{2} \geq 0, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει για κ \overset{α}{ˊ} θε α, β \in R .$
•
Εφαρμογή 3: Αν $α > 0$ , τότε $α + \frac{1}{α} \geq 2$ .
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : α + \frac{1}{α} \geq 2$ $⟺ α^{2} + 1 \geq 2 α$ $⟺ α^{2} - 2 α + 1 \geq 0$ $⟺ (α - 1)^{2} \geq 0, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
❓ Γιατί:Είναι μια απ' τις πιο χρήσιμες ανισότητες — εμφανίζεται συνεχώς. Ισότητα ισχύει μόνο όταν $α = 1$ .
•
Εφαρμογή 4: Αν $- \frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}$ και $- \frac{2}{3} < y < \frac{5}{6}$ , να βρεθεί το εύρος του $8 x - 12 y + 3$ .
💡 Παράδειγμα:
$Απ \overset{ο}{ˊ} - \frac{1}{2} < x < \frac{3}{4} : - 4 < 8 x < 6.$
$Απ \overset{ο}{ˊ} - \frac{2}{3} < y < \frac{5}{6} : - 8 < 12 y < 10 \Rightarrow - 10 < - 12 y < 8.$
$Πρ \overset{ο}{ˊ} σθεση κατ \overset{α}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} λη : - 14 < 8 x - 12 y < 14 \Rightarrow - 11 < 8 x - 12 y + 3 < 17.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Η σχέση

α > β

ισοδυναμεί με

α - β > 0

2Σωστό / Λάθος

Αν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, η φορά της διατηρείται.

3Σωστό / Λάθος

Για κάθε πραγματικό

α

ισχύει

α^{2} \geq 0

4Σωστό / Λάθος

Για όλους τους πραγματικούς

α, β

ισχύει

α^{2} + β^{2} \geq 2 α β

5Πολλαπλής επιλογής

Για

α > 0

, η ελάχιστη τιμή της

α + \frac{1}{α}

είναι:

6Πολλαπλής επιλογής

Αν

2 < x < 3

και

1 < y < 2

, τότε για το

x + y

ισχύει:

7Πολλαπλής επιλογής

Αν

2 < x < 3

και

1 < y < 2

, τότε για το

2 x - 3 y

ισχύει:

8Πολλαπλής επιλογής

Αν

5 < x < 8

και

1 < y < 2

, τότε για το

2 x + 4 y

ισχύει:

9Σωστό / Λάθος

Από

α > β

και

γ > δ

προκύπτει πάντα

α - γ > β - δ

10Πολλαπλής επιλογής

Το σύνολο των

x

με

α \leq x \leq β

είναι το διάστημα:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-2.2-m1
Αν $0 < α < β$ , να αποδείξεις ότι $\frac{3}{β} < \frac{3}{α}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Από $α < β$ με $α, β > 0$
2. 2
  $\frac{1}{α} > \frac{1}{β} > 0$
3. 3
  $\frac{3}{α} > \frac{3}{β}$ .
2Μεσαίοla-2.2-m2
Αν $2 < α < 4$ και $- 4 < β < - 3$ , βρες τα όρια της παράστασης $α + 2 β$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $- 8 < 2 β < - 6$ .
2. 2
  Προσθέτοντας με $2 < α < 4$ : $- 6 < α + 2 β < - 2$ .
3Εύκολοla-2.2-e2
Αν $α > 0$ , να δείξεις ότι $α + \frac{4}{α} \geq 4$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Από $(α - \frac{2}{α})^{2} \geq 0$
2. 2
  $α - 4 + \frac{4}{α} \geq 0$
3. 3
  $α + \frac{4}{α} \geq 4$ . (Ισότητα όταν $α = 2$ .)
4Εύκολοla-2.2-e1
Αν $3 < x < 5$ και $- 2 < y < 1$ , βρες τα όρια της παράστασης $y$ − $x$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
Από $- 2 < y < 1$ και $- 5 < - x < - 3$ : προσθέτοντας $- 7 < y - x < - 2$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοla-2.2-h1
Δείξε ότι $2 α^{2} + β^{2} \geq 2 α β$ για κάθε α, β ∈ ℝ. Πότε ισχύει η ισότητα;
2Μεσαίοla-2.2-m1
Αν $0 < α < β$ , να αποδείξεις ότι $\frac{3}{β} < \frac{3}{α}$ .
3Μεσαίοla-2.2-m2
Αν $2 < α < 4$ και $- 4 < β < - 3$ , βρες τα όρια της παράστασης $α + 2 β$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν θες να συγκρίνεις δύο αριθμούς ή παραστάσεις

A

και

B

Βήματα

1Σχημάτισε τη διαφορά $A - B$ .
2Βρες το πρόσημό της: $A - B > 0 \Rightarrow A > B$ · $A - B < 0 \Rightarrow A < B$ · $A - B = 0 \Rightarrow A = B$ .
3Συχνά η διαφορά γράφεται ως τέλειο τετράγωνο ή γινόμενο, οπότε το πρόσημο φαίνεται αμέσως.

Παράδειγμα

Σύγκριση

α^{2} + 1

και

2 α

α^{2} + 1 - 2 α = (α - 1)^{2} \geq 0

, άρα

α^{2} + 1 \geq 2 α

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Συμπληρώστε: $α > β$ ισοδυναμεί με $α - β □ 0$ .
2
Αν $2 < x < 3$ και $1 < y < 2$ , να βρείτε τα όρια του $x + y$ .
3
Με τα ίδια δεδομένα, να βρείτε τα όρια του $2 x - 3 y$ .
4
Με τα ίδια δεδομένα, να βρείτε τα όρια του $\frac{x}{y}$ .
5
Αν $4 < x < 7$ και $2 < y < 3$ , να βρείτε τα όρια της περιμέτρου $2 (x + y)$ .
6
Πολλαπλασιάστε την $2 < 3$ με $- 1$ και γράψτε το αποτέλεσμα.
7
Γράψτε ως διάστημα το σύνολο των $x$ με $- 2 \leq x < 5$ .
8
Ποια η ελάχιστη τιμή της $α + \frac{1}{α}$ για $α > 0$ ;
9
Ισχύει $α^{2} \geq 0$ για κάθε πραγματικό $α$ ;
10
Πότε ισχύει $α^{2} + β^{2} = 0$ ;

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι

α^{2} + β^{2} \geq 2 α β

για όλους τους πραγματικούς

α, β

Να αποδείξετε ότι

α^{2} + β^{2} + γ^{2} \geq α β + β γ + γ α

Για

α > 0

, να αποδείξετε ότι

α + \frac{1}{α} \geq 2

Αν

3 < x < 5

και

2 < y < 4

, να βρείτε τα όρια του

x - y

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Αν

- \frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}

και

- \frac{2}{3} < y < \frac{5}{6}

, να βρείτε τα όρια της παράστασης

8 x - 12 y + 3

Αν

α, β > 0

με

α + β = 1

, να αποδείξετε ότι

\frac{1}{α} + \frac{1}{β} \geq 4

Ορθογώνιο έχει

4 < x < 7

και

2 < y < 3

. Αν το

x

μειωθεί κατά

1

και το

y

τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια της νέας περιμέτρου

2 ((x - 1) + 3 y)

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί

x, y

με

3 < x < 5

και

2 < y < 4

α) Να βρείτε τα όρια του

x + y

β) Να βρείτε τα όρια του

2 x + y

γ) Να βρείτε τα όρια του

x y

δ) Να βρείτε τα όρια του

x - y

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.2 Διάταξη

Ύλη: §2.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: όταν πολλαπλασιάζουμε ανισότητα με αρνητικό αριθμό, η φορά της αντιστρέφεται.

β) Πότε ισχύει

α^{2} + β^{2} = 0

;

ΘΕΜΑ Β

α) Αν

2 < x < 3

και

1 < y < 2

, να βρείτε τα όρια του

x + y

β) Να αποδείξετε ότι

α^{2} + β^{2} \geq 2 α β

ΘΕΜΑ Γ

Αν

1 < x < 4

, να βρείτε τα όρια της παράστασης

3 x - 2

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

➕ Quiz · Πραγματικοί Αριθμοί

← Προηγούμενο

2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους

Επόμενο →

2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού