Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί›2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Οι Πραγματικοί Αριθμοί

§2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📏Γεωμετρικός ορισμός — απόσταση από το 0

•
Έστω αριθμός α που παριστάνεται από το σημείο Α πάνω σε έναν άξονα. Η απόσταση του Α από την αρχή Ο (δηλαδή το μήκος ΟΑ) ονομάζεται απόλυτη τιμή του α και συμβολίζεται με |α|. $∣ α ∣ = (OA) στον \overset{α}{ˊ} ξονα$
•
Παραδείγματα από τον άξονα: |2| $= 2$ , |−2| $= 2$ , | $\frac{13}{5}$ | $= \frac{13}{5}$ , |− $2$ | $= 2$ .
💡 Παράδειγμα:
$T ο + 7 και τ ο - 7 βρ \overset{ι}{ˊ} σκονται και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο 7 μον \overset{α}{ˊ} δες μακρι \overset{α}{ˊ} απ \overset{ο}{ˊ} τ ο 0 \to ∣7∣ = ∣ - 7∣ = 7.$
▶️ Αριθμογραμμή · η απόσταση από το 0 ως η απόλυτη τιμή.
|-4| = |4| = 4 — η απόλυτη τιμή είναι η απόσταση από το 0 (πάντα ≥ 0).
Σύρε το σημείο x — το +x και το −x απέχουν το ίδιο από το 0.

∣Αλγεβρικός ορισμός

•
Αν α θετικός, τότε |α| $= α$ (η απόλυτη τιμή είναι ο ίδιος ο αριθμός).
💡 Παράδειγμα:
$∣2∣ = 2, ∣ \frac{13}{5} ∣ = \frac{13}{5}, ∣ 2 ∣ = 2 .$
•
Αν α αρνητικός, τότε |α| $= - α$ (η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του — άρα θετικός).
💡 Παράδειγμα:
$∣ - 2∣ = 2, ∣ - \frac{13}{5} ∣ = \frac{13}{5}, ∣ - 2 ∣ = 2 .$
•
|0| $= 0$ .
•
Συνοπτικά, σε μία γραμμή: $∣ α ∣ = α αν α \geq 0∣ α ∣ = - α αν α < 0$
❓ Γιατί:Ο γεωμετρικός και ο αλγεβρικός ορισμός είναι ισοδύναμοι. Ο πρώτος βοηθάει στην εποπτεία, ο δεύτερος στους αλγεβρικούς υπολογισμούς.
📎 Δες και:

🔍Άμεσες συνέπειες του ορισμού

•
Το αντίθετο έχει την ίδια απόλυτη τιμή — και η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητική: $∣ α ∣ = ∣ - α ∣ \geq 0$
•
Η απόλυτη τιμή μηδενίζεται μόνο όταν ο αριθμός είναι το μηδέν:
$∣ α ∣ = 0$ $⟺ α = 0$
•
Σχέση με την τιμή του α: $∣ α ∣ \geq α ∣ α ∣ \geq - α$
•
Σχέση με την ύψωση στο τετράγωνο: $∣ α ∣^{2} = α^{2}$

🎯Λύσεις εξισώσεων με απόλυτα

•
Για $θ > 0$ :
$∣ x ∣ = θ$ $⟺ x = θ \overset{η}{ˊ} x = - θ$
💡 Παράδειγμα:
$∣ x ∣ = 5$ $⟺ x = 5 \overset{η}{ˊ} x = - 5.$
•
Για $θ = 0$ : μοναδική λύση $x = 0$ . Για $θ < 0$ : αδύνατη (γιατί | $x$ | ≥ 0).
•
Για ισότητα δύο απόλυτων:
$∣ x ∣ = ∣ α ∣$ $⟺ x = α \overset{η}{ˊ} x = - α$
💡 Παράδειγμα:
$∣ α - β ∣ = ∣2 α - 3 β ∣$ $⟺ α - β = 2 α - 3 β \overset{η}{ˊ} α - β = - (2 α - 3 β)$ $⟺ α = 2 β \overset{η}{ˊ} α = (\frac{4}{3}) β .$
❓ Γιατί:Δύο απόλυτες τιμές είναι ίσες όταν οι περιεχόμενες εκφράσεις είναι είτε ίσες είτε αντίθετες — γιατί η απόλυτη «εξαφανίζει» τη διαφορά προσήμου.

⚙️Ιδιότητες απόλυτων τιμών

•
1) Γινόμενο: $∣ α \cdot β ∣ = ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη ε \overset{ι}{ˊ} ναι μ η αρνητικ \overset{α}{ˊ} . Άρα$ $⟺ ∣ α \cdot β ∣ = ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣$ $⟺ ∣ α \cdot β ∣^{2} = (∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣)^{2}$ $⟺ ∣ α \cdot β ∣^{2} = ∣ α ∣^{2} \cdot ∣ β ∣^{2}$ $⟺ (α \cdot β)^{2} = α^{2} \cdot β^{2}, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
•
2) Πηλίκο: $∣ \frac{α}{β} ∣ = ∣ α ∣/∣ β ∣ (β \neq = 0)$
•
3) Τριγωνική ανισότητα: $∣ α + β ∣ \leq ∣ α ∣ + ∣ β ∣$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : Και τ α δ \overset{υ}{ˊ} ο μ \overset{ε}{ˊ} λη ε \overset{ι}{ˊ} ναι μ η αρνητικ \overset{α}{ˊ} . Άρα$ $⟺ ∣ α + β ∣ \leq ∣ α ∣ + ∣ β ∣$ $⟺ ∣ α + β ∣^{2} \leq (∣ α ∣ + ∣ β ∣)^{2}$ $⟺ (α + β)^{2} \leq ∣ α ∣^{2} + ∣ β ∣^{2} + 2∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣$ $⟺ α^{2} + β^{2} + 2 α β \leq α^{2} + β^{2} + 2∣ α β ∣$ $⟺ α β \leq ∣ α β ∣, που ισχ \overset{υ}{ˊ} ει .$
❓ Γιατί:Η ισότητα ισχύει ακριβώς όταν $α β \geq 0$ , δηλαδή όταν α, β ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον είναι 0. Αυτό το όνομα προέρχεται από το ότι σε τρίγωνο, η μία πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο.
•
Γενίκευση για γινόμενο πολλών όρων — η απόλυτη τιμή «μπαίνει» σε καθέναν: $∣ α_{1} \cdot α_{2} \cdot \dots \cdot α ν ∣ = ∣ α_{1} ∣ \cdot ∣ α_{2} ∣ \cdot \dots \cdot ∣ α ν ∣$
•
Απόλυτη τιμή δύναμης: $∣ α^{n} ∣ = ∣ α ∣^{n}$
•
Γενικευμένη τριγωνική ανισότητα — η απόλυτη τιμή αθροίσματος είναι ≤ από το άθροισμα των απολύτων: $∣ α_{1} + α_{2} + \dots + α ν ∣ \leq ∣ α_{1} ∣ + ∣ α_{2} ∣ + \dots + ∣ α ν ∣$

↔️Απόσταση δύο αριθμών

•
Έστω δύο αριθμοί α, β που παριστάνονται στον άξονα από τα σημεία Α, Β. Το μήκος του τμήματος ΑΒ λέγεται απόσταση των α, β: $d (α, β) = ∣ α - β ∣$
💡 Παράδειγμα:
$H απ \overset{ο}{ˊ} σταση των - 2 και 3 ε \overset{ι}{ˊ} ναι ∣ (- 2) - 3∣ = ∣ - 5∣ = 5.$
$Ισοδ \overset{υ}{ˊ} ναμα ∣3 - (- 2) ∣ = ∣5∣ = 5.$
▶️ Δύο σημεία στην αριθμογραμμή · απόσταση = απόλυτη τιμή διαφοράς.
3 + 5 = ?
α = 3
β = 5
Ταχύτητα
•
Προφανώς $d (α, β) = d (β, α)$ . Όταν $α < β$ , η απόσταση είναι β − α — που λέγεται και μήκος του διαστήματος [α, β].
•
Κέντρο διαστήματος [α, β] — ο μέσος όρος των άκρων: $κ \overset{ε}{ˊ} ντρο = \frac{α + β}{2}$
•
Ακτίνα ρ του διαστήματος [α, β] — το μισό του μήκους του: $ρ = \frac{β - α}{2}$
❓ Γιατί:Το κέντρο του διαστήματος βρίσκεται στον μέσο όρο των άκρων, και η ακτίνα είναι το μισό του μήκους — δηλαδή πόσο μακριά εκτείνεται το διάστημα δεξιά και αριστερά από το κέντρο.

🎯Λύσεις ανισοτήτων με απόλυτα

•
Για $ρ > 0$ , η ανίσωση | $x - x_{0}$ | $< ρ$ σημαίνει «η απόσταση του $x$ από το $x_{0}$ είναι μικρότερη του ρ».
$∣ x - x_{0} ∣ < ρ$ $⟺ x \in (x_{0} - ρ, x_{0} + ρ)$ $⟺ x_{0} - ρ < x < x_{0} + ρ$
💡 Παράδειγμα:
$∣ x - 3∣ < 2$ $⟺ d (x, 3) < 2$ $⟺ 1 < x < 5$ $⟺ x \in (1, 5) .$
•
Ειδική περίπτωση $x_{0} = 0$ :
$∣ x ∣ < ρ$ $⟺ x \in (- ρ, ρ)$ $⟺ - ρ < x < ρ$
💡 Παράδειγμα:
$∣ x ∣ < 2$ $⟺ - 2 < x < 2.$
•
Αντίστοιχα η | $x - x_{0}$ | $> ρ$ :
$∣ x - x_{0} ∣ > ρ$ $⟺ x \in (- \infty, x_{0} - ρ) \cup (x_{0} + ρ, + \infty)$ $⟺ x < x_{0} - ρ \overset{η}{ˊ} x > x_{0} + ρ$
💡 Παράδειγμα:
$∣ x - 3∣ > 2$ $⟺ x < 1 \overset{η}{ˊ} x > 5.$
❓ Γιατί:Γεωμετρική εικόνα: | $x - x_{0}$ | $< ρ$ → το $x$ βρίσκεται μέσα σε διάστημα ακτίνας ρ γύρω από το $x_{0}$ . | $x - x_{0}$ | $> ρ$ → το $x$ είναι ΕΞΩ από το ίδιο διάστημα.
•
Ειδική περίπτωση $x_{0} = 0$ :
$∣ x ∣ > ρ$ $⟺ x < - ρ \overset{η}{ˊ} x > ρ$
💡 Παράδειγμα:
$∣ x ∣ > 2$ $⟺ x < - 2 \overset{η}{ˊ} x > 2.$

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Για κάθε πραγματικό

α

ισχύει

∣ α ∣ \geq 0

2Σωστό / Λάθος

Ισχύει

∣ α ∣ = ∣ - α ∣

για κάθε

α

3Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

∣ - 7∣

;

4Πολλαπλής επιλογής

Αν

α < 0

, τότε

∣ α ∣ =

5Σωστό / Λάθος

Για κάθε

α

ισχύει

α^{2} = α

6Πολλαπλής επιλογής

Η εξίσωση

∣ x ∣ = 5

έχει λύσεις:

7Πολλαπλής επιλογής

Η ανίσωση

∣ x - 3∣ < 2

ισοδυναμεί με:

8Σωστό / Λάθος

Ισχύει

∣ α \cdot β ∣ = ∣ α ∣ \cdot ∣ β ∣

9Σωστό / Λάθος

Για όλους τους

α, β

ισχύει

∣ α + β ∣ = ∣ α ∣ + ∣ β ∣

10Πολλαπλής επιλογής

Η απόσταση των αριθμών

- 2

και

3

στον άξονα είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-2.3-m1
Αν $5 \leq x \leq 10$ , γράψε χωρίς απόλυτα $την A =$ | $x - 5$ | + | $x - 10$ |.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Στο διάστημα: $x - 5 \geq 0$ και $x - 10 \leq 0$ .
2. 2
  Άρα $A = (x - 5) + (10 - x) = 5$ .
2Μεσαίοla-2.3-m2
Αν | $x - 2$ | $< 3$ , να δείξεις ότι $- 1 < x < 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  | $x - 2$ | $< 3$
2. 2
  $- 3 < x - 2 < 3$
3. 3
  $- 1 < x < 5$ .
3Εύκολοla-2.3-e2
Λύσε: | $x - 3$ | $\leq 5$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $- 5 \leq x - 3 \leq 5$
2. 2
  $- 2 \leq x \leq 8$ .
4Εύκολοla-2.3-e1
Λύσε: | $y - 3$ | $< 1$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $- 1 < y - 3 < 1$
2. 2
  $2 < y < 4$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοla-2.3-h1
Αν $α \neq = 0$ , να δείξεις ότι |α| + 1/|α| $\geq 2$ . Πότε ισχύει ισότητα;
2Μεσαίοla-2.3-m1
Αν $5 \leq x \leq 10$ , γράψε χωρίς απόλυτα $την A =$ | $x - 5$ | + | $x - 10$ |.
3Μεσαίοla-2.3-m2
Αν | $x - 2$ | $< 3$ , να δείξεις ότι $- 1 < x < 5$ .

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν μια παράσταση περιέχει

∣ f (x) ∣

και θες να τη γράψεις χωρίς απόλυτη.

Βήματα

1Βρες πότε μηδενίζεται η εσωτερική παράσταση: λύσε $f (x) = 0$ .
2Για $f (x) \geq 0$ : $∣ f (x) ∣ = f (x)$ .
3Για $f (x) < 0$ : $∣ f (x) ∣ = - f (x)$ .

Παράδειγμα

Για

∣3 x - 6∣

: όταν

x \geq 2

είναι

∣3 x - 6∣ = 3 x - 6

· όταν

x < 2

είναι

∣3 x - 6∣ = 6 - 3 x

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Πόσο είναι το $∣ - 7∣$ ;
2
Πόσο είναι το $∣0∣$ ;
3
Πόσο είναι το $∣3 - 10∣$ ;
4
Πόσο είναι το $(- 4)^{2}$ ;
5
Να λύσετε την εξίσωση $∣ x ∣ = 6$ .
6
Να λύσετε την ανίσωση $∣ x ∣ < 3$ .
7
Να λύσετε την ανίσωση $∣ x - 2∣ < 1$ .
8
Αν $∣ α ∣ = 2$ και $∣ β ∣ = 5$ , πόσο είναι το $∣ α β ∣$ ;
9
Πόση είναι η απόσταση $d (- 3, 4)$ στον άξονα;
10
Να λύσετε την ανίσωση $∣ x ∣ > 2$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να γράψετε την παράσταση

∣3 x - 6∣ + 2

χωρίς απόλυτη τιμή, ανάλογα με το

x

Να λύσετε την εξίσωση

∣2 x - 1∣ = 5

Να λύσετε την ανίσωση

∣ x - 3∣ \leq 2

και να γράψετε τη λύση ως διάστημα.

Να αποδείξετε ότι

∣ α ∣ \geq α

για κάθε πραγματικό

α

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να λύσετε την εξίσωση

∣ x - 1∣ = ∣2 x + 3∣

Αν

∣ x - 2∣ < 1

και

∣ y - 3∣ < 2

, να βρείτε τα όρια του

x + y

Να αποδείξετε την τριγωνική ανισότητα

∣ α + β ∣ \leq ∣ α ∣ + ∣ β ∣

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται η ανίσωση

∣ x - 4∣ < 3

α) Να γράψετε τη λύση ως διάστημα.

β) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

∣ x - 4∣ = 3

δ) Να λύσετε την ανίσωση

∣ x - 4∣ > 3

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.3 Απόλυτη τιμή

Ύλη: §2.3Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος:

α^{2} = ∣ α ∣

για κάθε πραγματικό

α

β) Να λύσετε την εξίσωση

∣ x ∣ = 4

ΘΕΜΑ Β

α) Να λύσετε την

∣ x - 1∣ < 2

και να τη γράψετε ως διάστημα.

β) Πόση είναι η απόσταση

d (- 2, 5)

;

ΘΕΜΑ Γ

Να λύσετε την εξίσωση

∣2 x - 6∣ = 4

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

➕ Quiz · Πραγματικοί Αριθμοί

← Προηγούμενο

2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Επόμενο →

2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών