Κεφ. 3 - Εξισώσεις›3.2 Η Εξίσωση x^ν = α

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Εξισώσεις

§3.2 Η εξίσωση xⁿ = α

•
Έστω η εξίσωση $x^{3} = 8$ . Από τον ορισμό της ν-οστής ρίζας, η εξίσωση έχει ακριβώς ΜΙΑ θετική λύση: $38 = 2$ . Επίσης για κάθε $x \leq 0$ είναι $x^{3} \leq 0 \neq = 8$ . Άρα μοναδική λύση η $38 = 2$ .
•
Γενικά: Η εξίσωση $x^{n} = α$ με $α > 0$ και ν ΠΕΡΙΤΤΟ έχει ακριβώς ΜΙΑ λύση, την ⁿ $α$ . $x^{n} = α, α > 0, ν περιττ \overset{ο}{ˊ} ς \Rightarrow x = n α (μοναδικ \overset{η}{ˊ})$
•
Έστω η εξίσωση $x^{4} = 16$ . Έχει θετική λύση $416 = 2$ . Επίσης $(- 2)^{4} = 16$ , άρα και η −2 είναι λύση.
•
Γενικά: Η εξίσωση $x^{n} = α$ με $α > 0$ και ν ΑΡΤΙΟ έχει ακριβώς ΔΥΟ λύσεις: ⁿ $α$ και $- n α$ . $x^{n} = α, α > 0, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow x = \pm n α$

•
Έστω η εξίσωση $x^{3} = - 8$ . Έχουμε: $x^{3} = - 8$ ⇔ $- x^{3} = 8$ ⇔ $(- x)^{3} = 8$ ⇔ $- x = 38$ ⇔ $x = - 38 = - 2$ .
•
Γενικά: Η εξίσωση $x^{n} = α$ με $α < 0$ και ν ΠΕΡΙΤΤΟ έχει ακριβώς ΜΙΑ λύση: $- n - α$ . $x^{n} = α, α < 0, ν περιττ \overset{ο}{ˊ} ς \Rightarrow x = - n - α$
•
Έστω η εξίσωση $x^{4} = - 4$ . Επειδή για κάθε $x$ είναι $x^{4} \geq 0$ , η εξίσωση είναι ΑΔΥΝΑΤΗ.
•
Γενικά: Η εξίσωση $x^{n} = α$ με $α < 0$ και ν ΑΡΤΙΟ είναι αδύνατη στους πραγματικούς. $x^{n} = α, α < 0, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow αδ \overset{υ}{ˊ} νατη$

•
Όταν ο ν είναι περιττός: η εξίσωση έχει πάντα ΜΙΑ λύση που διατηρεί το πρόσημο του α. $x^{n} = α, ν περιττ \overset{ο}{ˊ} ς \Rightarrow x = n α (μοναδικ \overset{η}{ˊ})$
•
Όταν ο ν είναι άρτιος και $α > 0$ : δύο αντίθετες λύσεις. $x^{n} = α, α > 0, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow x = \pm n α$
•
Όταν ο ν είναι άρτιος και $α < 0$ : αδύνατη στους πραγματικούς. $x^{n} = α, α < 0, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow αδ \overset{υ}{ˊ} νατη$
•
Όταν $α = 0$ : μοναδική λύση το μηδέν. $x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0$

•
Συνδυάζοντας με τα παραπάνω, για την εξίσωση $x^{n} = α^{n}$ :
•
Αν ν περιττός: μοναδική λύση $x = α$ . $x^{n} = α^{n}, ν περιττ \overset{ο}{ˊ} ς \Rightarrow x = α$
•
Αν ν άρτιος: δύο λύσεις $x = α$ και $x = - α$ . $x^{n} = α^{n}, ν \overset{α}{ˊ} ρτιος \Rightarrow x = \pm α$

•
Να λυθεί η εξίσωση $x^{4} + 8 x = 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$x^{4} + 8 x = 0$ $⟺ x (x^{3} + 8) = 0$ $⟺ x = 0 \overset{η}{ˊ} x^{3} = - 8$ $⟺ x = 0 \overset{η}{ˊ} x = - 38 = - 2. Λ \overset{υ}{ˊ} σεις : 0 και - 2.$

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.