Κεφ. 4 - Ανισώσεις›4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Ανισώσεις

§4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🧱Μορφές τριωνύμου

•
Τριώνυμο: η παράσταση $α x^{2} + β x + γ$ με $α \neq = 0$ . Η διακρίνουσά του (και ρίζες του) ορίζονται όπως στην εξίσωση 2ου βαθμού. $α x^{2} + β x + γ μ ε α \neq = 0Δ = β^{2} - 4 α γ$
•
Με «συμπλήρωση τετραγώνου» αποδεικνύεται η ταυτότητα-κλειδί: $α x^{2} + β x + γ = α [(x + \frac{β}{2 α})^{2} - \frac{Δ}{4 α ^{2}}]$
📐 Απόδειξη:
$Απ \overset{ο}{ˊ} δειξη : α x^{2} + β x + γ = α (x^{2} + (\frac{β}{α}) x + \frac{γ}{α}) = α (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (\frac{β}{2 α}) + (\frac{β}{2 α})^{2} - (\frac{β}{2 α})^{2} + \frac{γ}{α}) = α [(x + \frac{β}{2 α})^{2} + \frac{4 α γ - β ^{2}}{4 α ^{2}}] = α [(x + \frac{β}{2 α})^{2} - \frac{Δ}{4 α ^{2}}] .$
•
Αν Δ > 0 (δύο ρίζες $x_{1}$ , $x_{2}$ ): το τριώνυμο γράφεται ως γινόμενο πρωτοβάθμιων: $α x^{2} + β x + γ = α (x - x_{1}) (x - x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
$2 x^{2} + 3 x - 2 : Δ = 9 + 16 = 25, ρ \overset{ι}{ˊ} ζες x = \frac{1}{2} και x = - 2.$
$Άρα 2 x^{2} + 3 x - 2 = 2 (x - \frac{1}{2}) (x + 2) = (2 x - 1) (x + 2) .$
•
Αν $Δ = 0$ (διπλή ρίζα): τέλειο τετράγωνο. $α x^{2} + β x + γ = α (x + \frac{β}{2 α})^{2}$
💡 Παράδειγμα:
$(\frac{1}{2}) x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} : Δ = 9 - 4 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{9}{2}) = 0.$
$\frac{β}{2 α} = 3.$
$Άρα = (\frac{1}{2}) (x + 3)^{2} = \frac{x ^{2} + 6 x + 9}{2} .$
•
Αν $Δ < 0$ : ΔΕΝ αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων με πραγματικούς συντελεστές. $α x^{2} + β x + γ = α [(x + \frac{β}{2 α})^{2} + ∣Δ∣/ (4 α^{2})]$
💡 Παράδειγμα:
$2 x^{2} - 6 x + 5 : Δ = 36 - 40 = - 4.$
$Παραμ \overset{ε}{ˊ} νει « αδι \overset{α}{ˊ} λυτο » : 2 [(x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{1}{4}] .$

🎯Πρόσημο του τριωνύμου — ο κανόνας-κλειδί

•
Το πρόσημο του τριωνύμου $α x^{2} + β x + γ$ καθορίζεται από τη διακρίνουσα Δ και τον συντελεστή α.
•
Όταν Δ > 0 (δύο ρίζες $x_{1}$ < $x_{2}$ ), το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α έξω από τις ρίζες — δηλαδή για $x < x_{1}$ ή $x > x_{2}$ .
•
Όταν $Δ > 0$ , το τριώνυμο είναι ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του α ανάμεσα στις ρίζες — δηλαδή για $x_{1} < x < x_{2}$ . Στις ίδιες τις ρίζες (x = $x_{1}$ ή $x$ = $x_{2}$ ) μηδενίζεται.
•
ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ: «ΕΞΩ ομόσημο του α — ΜΕΣΑ ετερόσημο του α» (όταν υπάρχουν δύο ρίζες).
💡 Παράδειγμα:
$2 x^{2} - 3 x - 2 μ ε α = 2 > 0, ρ \overset{ι}{ˊ} ζες - \frac{1}{2} και 2 : αρνητικ \overset{ο}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} σα στο (- \frac{1}{2}, 2), θετικ \overset{ο}{ˊ} \overset{ε}{ˊ} ξω .$
❓ Γιατί:Από την ανάλυση $α x^{2} + β x + γ = α (x - x_{1}) (x - x_{2})$ : οι παράγοντες $(x - x_{1}), (x - x_{2})$ είναι ομόσημοι όταν $x$ έξω από [ $x_{1}$ , $x_{2}$ ] και ετερόσημοι ανάμεσα. Άρα το γινόμενό τους πολλαπλασιασμένο με το α δίνει τον κανόνα.
•
Όταν $Δ = 0$ (διπλή ρίζα ρ): το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε $x \neq = ρ$ , και μηδέν για $x = ρ$ . $Δ = 0 : α x^{2} + β x + γ ομ \overset{ο}{ˊ} σημο του α εκτ \overset{ο}{ˊ} ς απ \overset{ο}{ˊ} x = - \frac{β}{2 α} \overset{ο}{ˊ} που ε \overset{ι}{ˊ} ναι 0$
•
Όταν $Δ < 0$ : το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για ΚΑΘΕ $x$ ∈ ℝ (ποτέ δεν αλλάζει πρόσημο, ποτέ δεν μηδενίζεται). $Δ < 0 : α x^{2} + β x + γ ομ \overset{ο}{ˊ} σημο του α για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in R$
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} + x + 1 : Δ = - 3 < 0, α = 1 > 0 \to θετικ \overset{ο}{ˊ} για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in R .$
•
Συνοπτικά («η χρυσή πρόταση» από το βιβλίο) — το τριώνυμο $α x^{2} + β x + γ$ είναι ΕΤΕΡΟΣΗΜΟ του α μόνο όταν $Δ > 0$ και το $x$ βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες, δηλαδή $x$ ∈ ( $x_{1}$ , $x_{2}$ ).
•
Το τριώνυμο είναι ΜΗΔΕΝ όταν το $x$ ισούται με κάποια ρίζα (x = $x_{1}$ ή $x$ = $x_{2}$ ).
•
Σε κάθε άλλη περίπτωση, το τριώνυμο είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α.

✅Επίλυση ανισώσεων αx² + βx + γ > 0 (ή < 0, ≥ 0, ≤ 0)

•
Βήματα: 1) Υπολογίζω Δ. 2) Αν $Δ \geq 0$ , βρίσκω ρίζες $x_{1}$ , $x_{2}$ . 3) Φτιάχνω πίνακα προσήμου. 4) Διαβάζω την απάντηση.
▶️ Slider β, γ · παραβολή · ρίζες · πρόσημο.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Παράδειγμα 1: $2 x^{2} - 3 x - 2 > 0$ ΚΑΙ $2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Ρ \overset{ι}{ˊ} ζες : - \frac{1}{2} και 2 (Δ = 25) . α = 2 > 0. Π \overset{ι}{ˊ} νακας : « \overset{ε}{ˊ} ξω +, μ \overset{ε}{ˊ} σα - ». Άρα : 2 x^{2} - 3 x - 2 > 0$ $⟺ x < - \frac{1}{2} \overset{η}{ˊ} x > 2$ $⟺ x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty) . Και : 2 x^{2} - 3 x - 2 < 0$ $⟺ - \frac{1}{2} < x < 2$ $⟺ x \in (- \frac{1}{2}, 2) .$
•
Παράδειγμα 2: $2 x^{2} - 3 x - 2 \leq 0$ .
💡 Παράδειγμα:
Ζητάμε «μέσα» + ρίζες.
$Λ \overset{υ}{ˊ} σεις : x \in [- \frac{1}{2}, 2] .$
•
Παράδειγμα $3 (Δ = 0)$ : $x^{2} - 2 x + 1 > 0$ ΚΑΙ $x^{2} - 2 x + 1 < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Δ = 0, διπλ \overset{η}{ˊ} ρ \overset{ι}{ˊ} ζα 1, α = 1 > 0.$
Τριώνυμο θετικό για κάθε $x \neq = 1$ .
$Άρα : x^{2} - 2 x + 1 > 0 για κ \overset{α}{ˊ} θε x \neq = 1.$
$H x^{2} - 2 x + 1 < 0 ε \overset{ι}{ˊ} ναι ΑΔΥΝΑΤΗ .$
•
Παράδειγμα $4 (Δ < 0)$ : $x^{2} + x + 1 > 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Δ = 1 - 4 = - 3 < 0, α = 1 > 0 \to θετικ \overset{ο}{ˊ} παντο \overset{υ}{ˊ} \to λ \overset{υ}{ˊ} σεις : \overset{ο}{ˊ} λο τ ο R .$
❓ Γιατί:Συχνό λάθος: αν $Δ < 0$ ο μαθητής νομίζει «η ανίσωση είναι αδύνατη». ΟΧΙ — εξαρτάται από τη φορά και το πρόσημο του α.

💡Εφαρμογές

•
Εφαρμογή 1: Συναλήθευση δύο ανισώσεων 2ου βαθμού. Π.χ. $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ και $x^{2} - x - 6 > 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$Πρ \overset{ω}{ˊ} τη : (x - 5) (x + 1) < 0$ $⟺ - 1 < x < 5. Δε \overset{υ}{ˊ} τερη : (x + 2) (x - 3) > 0$ $⟺ x < - 2 \overset{η}{ˊ} x > 3. Κοιν \overset{ε}{ˊ} ς λ \overset{υ}{ˊ} σεις : x \in (3, 5) .$
•
Εφαρμογή 2: Διερεύνηση με παράμετρο. $x^{2} - (α + 1) x + α + 4 = 0, α$ ∈ ℝ. Πότε έχει 2 ρίζες; Πότε διπλή ρίζα; Πότε αδύνατη;
💡 Παράδειγμα:
$Διακρ \overset{ι}{ˊ} νουσα : Δ = (α + 1)^{2} - 4 (α + 4) = α^{2} - 2 α - 15. Αυτ \overset{η}{ˊ} ε \overset{ι}{ˊ} ναι τρι \overset{ω}{ˊ} νυμο του α μ ε ρ \overset{ι}{ˊ} ζες α_{1} = 5, α_{2} = - 3.•2 \overset{α}{ˊ} νισες ρ \overset{ι}{ˊ} ζες$ $⟺ Δ > 0$ $⟺ α < - 3 \overset{η}{ˊ} α > 5.•1 διπλ \overset{η}{ˊ} ρ \overset{ι}{ˊ} ζα$ $⟺ Δ = 0$ $⟺ α = - 3 \overset{η}{ˊ} α = 5.• Αδ \overset{υ}{ˊ} νατη$ $⟺ Δ < 0$ $⟺ - 3 < α < 5.$
❓ Γιατί:Παρατήρησε: για να μελετήσουμε το πρόσημο της διακρίνουσας Δ ως προς την παράμετρο α, εφαρμόζουμε ΞΑΝΑ τα ίδια εργαλεία πρόσημου τριωνύμου — αυτή τη φορά με ανεξάρτητη μεταβλητή τον α.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-4.2-m1
Λύσε: $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ρίζες: $x = 4, - 1$ .
2. 2
  Με $α > 0$ , αρνητικό μεταξύ ριζών: $- 1 \leq x \leq 4$ .
2Εύκολοla-4.2-e1
Λύσε: $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Ρίζες: $x = 2, 3$ .
2. 2
  Με $α > 0$ , θετικό έξω από τις ρίζες: $x < 2$ ή $x > 3$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-4.2-m1
Λύσε: $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0$ .
2Δύσκολοla-4.2-h1
Λύσε: $2 x^{2} + 5 x - 3 \geq 0$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

↔️ Quiz · Ανισώσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Επόμενο →

4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο