Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων›6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

§6.1 Η έννοια της συνάρτησης

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

↔️Ορισμός συνάρτησης

•
Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του ℝ. Λέμε ότι ορίζεται σε Α μία συνάρτηση $f$ , όταν με κάποια διαδικασία κάθε στοιχείο $x$ ∈ Α αντιστοιχίζεται σε ΕΝΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟ πραγματικό αριθμό $y$ . $f : A \to R, x \mapsto f (x)$
•
Το $y$ που αντιστοιχεί στο $x$ το συμβολίζουμε με $f (x)$ και το λέμε τιμή της $f$ στο $x$ . Η μεταβλητή $x$ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ η $y$ εξαρτημένη μεταβλητή. $y = f (x)$
•
Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της $f$ . Συμβολίζεται με $A$ ή D_f.
💡 Παράδειγμα:
$Στη συν \overset{α}{ˊ} ρτηση f (x) = x^{2} μ ε πεδ \overset{ι}{ˊ} ο ορισμο \overset{υ}{ˊ} τ ο R, ισχ \overset{υ}{ˊ} ει f (2) = 4, f (- 3) = 9, f (0) = 0.$
•
Το σύνολο που έχει για στοιχεία τις τιμές $f (x)$ για όλα τα $x$ ∈ Α, λέγεται σύνολο τιμών της $f$ και συμβολίζεται με $f (A)$ . $f (A) = {f (x) : x \in A}$
•
Δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ λέγονται ίσες όταν: (α) έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α, και (β) για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει $f (x) = g (x)$ .
❓ Γιατί:Δεν αρκεί ο ίδιος τύπος — αν τα πεδία ορισμού διαφέρουν, οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Π.χ. η $f (x) = x^{2}$ στο ℝ και η $g (x) = x^{2}$ στο [0, +∞) δεν είναι ίσες.

🚧Προσδιορισμός πεδίου ορισμού

•
Όταν η συνάρτηση δίνεται με τύπο και δεν αναφέρεται ρητά το πεδίο ορισμού, ως πεδίο ορισμού θεωρούμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών $x$ για τους οποίους η παράσταση $f (x)$ έχει νόημα (μεγαλύτερο πεδίο ορισμού).
•
Περιορισμός 1: όταν εμφανίζεται κλάσμα, ο παρονομαστής πρέπει να είναι διαφορετικός του μηδενός. $παρονομαστ \overset{η}{ˊ} ς \neq = 0$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = \frac{x + 1}{x - 3} : απαιτε \overset{ι}{ˊ} ται x - 3 \neq = 0, \overset{α}{ˊ} ρα D_{f} = R ∖ {3} .$
•
Περιορισμός 2: όταν εμφανίζεται τετραγωνική ρίζα (γενικά άρτια), το υπόρριζο πρέπει να είναι μη αρνητικό. $υπ \overset{ο}{ˊ} ρριζο \geq 0$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 2 x - 4 : απαιτε \overset{ι}{ˊ} ται 2 x - 4 \geq 0, \overset{α}{ˊ} ρα x \geq 2 και D_{f} = [2, + \infty) .$
•
Όταν εμφανίζονται περισσότεροι περιορισμοί ταυτόχρονα, παίρνουμε την ΤΟΜΗ των επιμέρους συνόλων που τους ικανοποιούν.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = \frac{x + 1}{x - 2} : απαιτε \overset{ι}{ˊ} ται x + 1 \geq 0 ΚΑΙ x - 2 \neq = 0, \overset{α}{ˊ} ρα D_{f} = [- 1, 2) \cup (2, + \infty) .$

🧮Πράξεις συναρτήσεων

•
Έστω δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ με πεδία ορισμού $A$ και $B$ αντίστοιχα. Ορίζουμε το άθροισμα $f$ + $g$ στην τομή $A$ ∩ $B$ : $(f + g) (x) = f (x) + g (x), x \in A \cap B$
•
Αντίστοιχα ορίζονται η διαφορά $f$ − $g$ , το γινόμενο $f$ · $g$ στην τομή $A$ ∩ $B$ , και το πηλίκο $\frac{f}{g}$ όπου επιπλέον απαιτείται $g (x) \neq = 0$ . $(f - g) (x) = f (x) - g (x)$
•
Γινόμενο και πηλίκο: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x)$
•
Πηλίκο — με πρόσθετο περιορισμό: $(\frac{f}{g}) (x) = f \frac{x}{g} (x), g (x) \neq = 0$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-6.1-m1
Βρες το πεδίο ορισμού: $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  $x - 1 \geq 0$ και $x - 2 \neq = 0$
2. 2
  $x \geq 1$ και $x \neq = 2$ . $A = [1, 2)$ ∪ (2, +∞).
2Εύκολοla-6.1-e2
Βρες το πεδίο ορισμού της $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x - 3 \neq = 0$
2. 2
  $x \neq = 3$ . $A =$ ℝ \ {3}.
3Εύκολοla-6.1-e1
Βρες το πεδίο ορισμού της $f (x) = x - 4 + 6 - x$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $x - 4 \geq 0$ και $6 - x \geq 0$
2. 2
  $x \geq 4$ και $x \leq 6$ . Άρα $A = [4, 6]$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-6.1-m1
Βρες το πεδίο ορισμού: $f (x) = \frac{x - 1}{x - 2}$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

5.4 Ανατοκισμός - Ίσες Καταθέσεις

Επόμενο →

6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης