Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων›6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

§6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες

📈Ορισμός γραφικής παράστασης

•
Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, σε κάθε σημείο $M (x, y)$ του επιπέδου αντιστοιχούμε το διατεταγμένο ζεύγος των πραγματικών αριθμών (x, $y$ ).
•
Έστω συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α. Γραφική παράσταση της $f$ , που συμβολίζεται με C_f, λέγεται το σύνολο των σημείων $M (x, y)$ για τα οποία ισχύει $y = f (x)$ , δηλαδή το σύνολο των σημείων M(x, $f (x)$ ) για κάθε $x$ ∈ Α. $C_{f} = {(x, f (x)) : x \in A}$
•
Η εξίσωση $y = f (x)$ επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C_f. Άρα η εξίσωση $y = f (x)$ λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της $f$ . $y = f (x)$
•
Επειδή κάθε $x$ ∈ Α αντιστοιχίζεται σε ΕΝΑ μόνο $y$ , κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ΕΝΑ κοινό σημείο με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης (κριτήριο κατακόρυφης γραμμής).
❓ Γιατί:Αν μια κατακόρυφη ευθεία $x = α$ τέμνει την καμπύλη σε δύο σημεία, τότε στο α θα αντιστοιχούσαν δύο διαφορετικά $y$ — αυτό αντιφάσκει με τον ορισμό της συνάρτησης.

🎯Τομές με τους άξονες

•
Σημείο τομής της C_f με τον άξονα $x$ ′ $x$ : σημείο με τεταγμένη 0, δηλαδή της μορφής ( $x_{0}$ , 0). Βρίσκεται λύνοντας την εξίσωση $f (x) = 0$ — οι λύσεις της λέγονται ρίζες της $f$ .
$τομ \overset{ε}{ˊ} ς μ ε x^{'} x$ $⟺ λ \overset{υ}{ˊ} σεις της f (x) = 0$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x^{2} - 4 : απ \overset{ο}{ˊ} x^{2} - 4 = 0 \to x = \pm 2 \to σημε \overset{ι}{ˊ} α τομ \overset{η}{ˊ} ς (- 2, 0) και (2, 0) .$
•
Σημείο τομής της C_f με τον άξονα $y$ ′ $y$ : σημείο με τετμημένη 0, δηλαδή (0, $f (0)$ ). Υπολογίζουμε απλώς $f (0)$ — αν το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού. $τομ \overset{η}{ˊ} μ ε y^{'} y στο (0, f (0))$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x^{2} - 4 : f (0) = - 4 \to η C_{f} τ \overset{ε}{ˊ} μνει τον y^{'} y στο σημε \overset{ι}{ˊ} ο (0, - 4) .$

🚦Πρόσημο συνάρτησης

•
Λέμε ότι η $f$ είναι θετική (αντίστοιχα αρνητική) στο σύνολο $A_{1}$ ⊆ Α, όταν $f (x) > 0$ (αντίστοιχα $f (x)$ < 0) για κάθε $x$ ∈ $A_{1}$ .
•
Γεωμετρικά: όπου η γραφική παράσταση βρίσκεται ΠΑΝΩ από τον άξονα $x$ ′ $x$ , η $f$ είναι θετική. Όπου βρίσκεται ΚΑΤΩ, η $f$ είναι αρνητική.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} - 4 ε \overset{ι}{ˊ} ναι αρνητικ \overset{η}{ˊ} στο (- 2, 2) και θετικ \overset{η}{ˊ} στο (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty) .$
▶️ Πρόσημο της f από τη γραφική — πού είναι πάνω/κάτω από τον x′x.
f(0) = -4.00 < 0 → στο υποδιάστημα του 0 η f είναι αρνητική (−).
Πρόσημο:(−∞, −2): +(−2, 2): −(2, +∞): +
•
Στα σημεία όπου η C_f τέμνει τον $x$ ′ $x$ (ρίζες της $f$ ), η συνάρτηση μηδενίζεται.

🆚Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων

•
Οι λύσεις της εξίσωσης $f (x) = g (x)$ είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων C_f και C_g.
$κοιν \overset{α}{ˊ} σημε \overset{ι}{ˊ} α C_{f}, C_{g}$ $⟺ λ \overset{υ}{ˊ} σεις της f (x) = g (x)$
💡 Παράδειγμα:
$Για f (x) = x + 1 και g (x) = x^{2} : x^{2} = x + 1$ $⟺ x^{2} - x - 1 = 0, που δ \overset{ι}{ˊ} νει τις τετμημ \overset{ε}{ˊ} νες των κοιν \overset{ω}{ˊ} ν σημε \overset{ι}{ˊ} ων .$
•
Η $f (x) > g (x)$ ισχύει στα $x$ για τα οποία η C_f βρίσκεται πάνω από τη C_g.
•
Η $f (x) < g (x)$ ισχύει στα $x$ για τα οποία η C_f βρίσκεται κάτω από τη C_g.
❓ Γιατί:Η σύγκριση $f (x)$ με $g (x)$ είναι ισοδύναμη με σύγκριση τεταγμένων στο ίδιο $x$ — δηλαδή με τη θέση των δύο σημείων (x, $f (x)$ ) και (x, $g (x)$ ) στην κατακόρυφη $x = x_{0}$ .

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοla-6.2-e1
Δίνεται $f (x) = 2 x - 3$ . Βρες τα σημεία τομής με τους άξονες.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Με $x$ ΄ $x$ : $y = 0$
2. 2
  $x = \frac{3}{2}$ , σημείο ( $\frac{3}{2}$ , 0). Με $y$ ΄ $y$ : $x = 0$
3. 3
  $y = - 3$ , σημείο (0, −3).

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης

Επόμενο →

6.3 Η Συνάρτηση f(x) = αx + β