Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων›6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες Συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 6 - Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

§6.5 Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης

📈Μονοτονία

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ ⊆ Α, όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = 2 x + 1 ε \overset{ι}{ˊ} ναι γνησ \overset{ι}{ˊ} ως α \overset{υ}{ˊ} ξουσα στο R .$
•
Αντίστοιχα, η $f$ λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) > f (x_{2})$ . $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - x + 3 ε \overset{ι}{ˊ} ναι γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα στο R .$
•
Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
❓ Γιατί:Η μονοτονία περιγράφει πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση όταν αυξάνεται η τιμή του $x$ : αν οι τιμές της $f$ αυξάνονται, είναι αύξουσα· αν μειώνονται, φθίνουσα.

🏔️Ακρότατα συνάρτησης

•
Λέμε ότι η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) μέγιστο, όταν $f (x_{0}) \geq f (x)$ για κάθε $x$ ∈ Α. Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό μέγιστο της $f$ . $f (x_{0}) \geq f (x) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Λέμε ότι η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ Α (ολικό) ελάχιστο, όταν $f (x_{0}) \leq f (x)$ για κάθε $x$ ∈ Α. Ο αριθμός $f (x_{0})$ λέγεται ολικό ελάχιστο της $f$ . $f (x_{0}) \leq f (x) για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} ελ \overset{α}{ˊ} χιστο τ ο 0 στο x_{0} = 0.$
•
Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ακρότατα της συνάρτησης.

🪞Άρτια & περιττή συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α λέγεται άρτια όταν: (α) για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει − $x$ ∈ Α (το πεδίο είναι συμμετρικό ως προς το 0), και $(β) f (- x) = f (x)$ για κάθε $x$ ∈ Α. $f (- x) = f (x)$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτια : f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x) .$
•
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ .
▶️ Άρτια/περιττή — σύρε σημείο Μ και δες το κάτοπτρο Μ′ (άξονας y′y ή κέντρο Ο).
Μ(2,4, 0,42) → Μ′(-2,4, 0,42) · f(−x) = f(x) · συμμετρία ως προς τον άξονα y′y
Σύρε το Μ — δες πού πέφτει το κάτοπτρό του Μ′.
•
Μια συνάρτηση $f$ λέγεται περιττή όταν: (α) για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει − $x$ ∈ Α, και $(β) f (- x) = - f (x)$ για κάθε $x$ ∈ Α. $f (- x) = - f (x)$
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{3} ε \overset{ι}{ˊ} ναι περιττ \overset{η}{ˊ} : f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3} = - f (x) .$
•
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
❓ Γιατί:Άρτια: αν αλλάξεις το πρόσημο του $x$ , η τιμή μένει ίδια → καθρέφτης ως προς $y$ ′ $y$ . Περιττή: αν αλλάξεις το πρόσημο του $x$ , η τιμή αναστρέφεται → στροφή 180° γύρω από την Ο.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

6.4 Κατακόρυφη - Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης

Επόμενο →

7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f(x) = αx²