📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 7 - Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων

§7.1 Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx²

•
Έστω η συνάρτηση $f (x) = α x^{2}$ με $α \neq = 0$ και πεδίο ορισμού το ℝ. Η γραφική της παράσταση είναι καμπύλη που λέγεται παραβολή. $f (x) = α x^{2}, α \neq = 0, x \in R$
▶️ Παραβολή y = αx² + βx + γ — sliders α, β, γ· κορυφή, ρίζες, διακρίνουσα.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Η αρχή Ο των αξόνων είναι σημείο της C_f (αφού $f (0)$ = 0) και λέγεται κορυφή της παραβολής.
•
Η παραβολή $y = α x^{2}$ έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ .
❓ Γιατί:Η ισότητα $f (- x) = α (- x)^{2} = α x^{2} = f (x)$ δείχνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια — άρα η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον $y$ ′ $y$ .

•
Αν $α > 0$ : η παραβολή $y = α x^{2}$ στρέφει τα κοίλα προς τα ΠΑΝΩ. Όλα τα σημεία της (εκτός από την κορυφή) βρίσκονται πάνω από τον άξονα $x$ ′ $x$ .
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα : y = x^{2}, y = 2 x^{2}, y = (\frac{1}{2}) x^{2} — \overset{ο}{ˊ} λες \overset{ε}{ˊ} χουν σχ \overset{η}{ˊ} μα U .$
•
Αν $α < 0$ : η παραβολή $y = α x^{2}$ στρέφει τα κοίλα προς τα ΚΑΤΩ. Όλα τα σημεία της (εκτός από την κορυφή) βρίσκονται κάτω από τον άξονα $x$ ′ $x$ .
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα : y = - x^{2}, y = - 3 x^{2} — \overset{ο}{ˊ} λες ανεστραμμ \overset{ε}{ˊ} νες παραβολ \overset{ε}{ˊ} ς .$
•
Όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή |α|, τόσο πιο «στενή» η παραβολή. Όσο μικρότερη, τόσο πιο «ανοιχτή».
💡 Παράδειγμα:
$H y = 3 x^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι πιο στεν \overset{η}{ˊ} απ \overset{ο}{ˊ} την y = x^{2} \cdot η y = (\frac{1}{4}) x^{2} πιο ανοιχτ \overset{η}{ˊ} .$

•
Η $f (x) = α x^{2}$ είναι άρτια συνάρτηση (συμμετρική ως προς τον $y$ ′ $y$ ). $f (- x) = f (x)$
•
Πεδίο ορισμού της $f$ είναι το ℝ. $D_{f} = R$
•
Αν $α > 0$ : το σύνολο τιμών είναι [0, +∞). Η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0} = 0$ ολικό ελάχιστο $f (0) = 0$ . $α > 0 : f (R) = [0, + \infty), ελ \overset{α}{ˊ} χιστο f (0) = 0$
•
Αν $α < 0$ : το σύνολο τιμών είναι (−∞, 0]. Η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0} = 0$ ολικό μέγιστο $f (0) = 0$ . $α < 0 : f (R) = (- \infty, 0], μ \overset{ε}{ˊ} γιστο f (0) = 0$

•
Αν $α > 0$ : η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−∞, 0] και γνησίως αύξουσα στο [0, +∞).
💡 Παράδειγμα:
$Στην y = x^{2} : στα αρνητικ \overset{α}{ˊ} x μει \overset{ω}{ˊ} νεται \overset{ο}{ˊ} σο πλησι \overset{α}{ˊ} ζουμε στο 0, στα θετικ \overset{α}{ˊ} αυξ \overset{α}{ˊ} νεται .$
•
Αν $α < 0$ : η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (−∞, 0] και γνησίως φθίνουσα στο [0, +∞).
💡 Παράδειγμα:
$Στην y = - x^{2} : στα αρνητικ \overset{α}{ˊ} x αυξ \overset{α}{ˊ} νεται μ \overset{ε}{ˊ} χρι τ ο 0 (μ \overset{ε}{ˊ} γιστο), στα θετικ \overset{α}{ˊ} μει \overset{ω}{ˊ} νεται .$
❓ Γιατί:Η συμμετρία ως προς τον $y$ ′ $y$ και η μορφή της παραβολής εξηγούν τη συμπεριφορά: η συνάρτηση «αλλάζει» μονοτονία στην κορυφή.

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.