Κεφ. 7 - Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων›7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Α΄ Λυκείου · Κεφ. 7 - Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων

§7.3 Μελέτη της συνάρτησης f(x) = αx² + βx + γ

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

🧮Συμπλήρωση τετραγώνου — κανονική μορφή

•
Έστω η συνάρτηση $f (x) = α x^{2} + β x + γ$ με $α \neq = 0$ και πεδίο ορισμού το ℝ. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου, ο τύπος μετασχηματίζεται στην κανονική μορφή: $α x^{2} + β x + γ = α (x + \frac{β}{2 α})^{2} - \frac{Δ}{4 α}$
📐 Απόδειξη:
$Παραγοντοποιο \overset{υ}{ˊ} με τ ο α απ \overset{ο}{ˊ} τους δ \overset{υ}{ˊ} ο πρ \overset{ω}{ˊ} τους \overset{ο}{ˊ} ρους :$ $⟺ α x^{2} + β x + γ = α [x^{2} + (\frac{β}{α}) x] + γ$ $⟺ = α [x^{2} + 2 \cdot (\frac{β}{2 α}) \cdot x + (\frac{β}{2 α})^{2} - (\frac{β}{2 α})^{2}] + γ$ $⟺ = α (x + \frac{β}{2 α})^{2} - α \cdot \frac{β ^{2}}{4 α ^{2}} + γ$ $⟺ = α (x + \frac{β}{2 α})^{2} - \frac{β ^{2} - 4 α γ}{4 α}$ $⟺ = α (x + \frac{β}{2 α})^{2} - \frac{Δ}{4 α} .$
•
Όπου $Δ = β^{2} - 4 α γ$ είναι η γνωστή διακρίνουσα του τριωνύμου. $Δ = β^{2} - 4 α γ$

🎯Κορυφή — άξονας συμμετρίας — μετατόπιση από την y = αx²

•
Από την κανονική μορφή προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της $f (x) = α x^{2} + β x + γ$ είναι παραβολή, που προκύπτει από τη γραφική παράσταση της $y = α x^{2}$ με οριζόντια μετατόπιση κατά $- \frac{β}{2 α}$ και κατακόρυφη μετατόπιση κατά $- \frac{Δ}{4 α}$ .
•
Η κορυφή $K$ της παραβολής έχει τετμημένη x_K και τεταγμένη y_K που δίνονται από: $x_{K} = - \frac{β}{2 α}$
▶️ Sliders α, β, γ — live κορυφή και ρίζες της παραβολής.
f(x) = x² − 4x + 3
Διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ4
Κορυφή Κ(−β/2α, −Δ/4α)(2, -1)
Ρίζες1, 3
Δ > 0 → 2 ρίζες
α = 1
β = -4
γ = 3
Άλλαξε α, β, γ — δες πώς το πρόσημο της Δ καθορίζει τον αριθμό των ριζών.
•
Τεταγμένη της κορυφής: $y_{K} = - \frac{Δ}{4 α}$
💡 Παράδειγμα:
$Για f (x) = x^{2} - 4 x + 3 : α = 1, β = - 4, γ = 3.$
$x_{K} = \frac{4}{2} = 2, Δ = 16 - 12 = 4, y_{K} = - \frac{4}{4} = - 1.$
Κορυφή: $K (2, - 1)$ .
•
Ο άξονας συμμετρίας της παραβολής είναι η κατακόρυφη ευθεία $x = - \frac{β}{2 α}$ . $\overset{α}{ˊ} ξονας συμμετρ \overset{ι}{ˊ} ας : x = - \frac{β}{2 α}$

🏔️Μέγιστο — ελάχιστο — σύνολο τιμών

•
Αν $α > 0$ : η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Η $f$ παρουσιάζει στο x_ $K = - \frac{β}{2 α}$ ολικό ΕΛΑΧΙΣΤΟ ίσο με y_ $K = - \frac{Δ}{4 α}$ . $α > 0 : ελ \overset{α}{ˊ} χιστο f (x_{K}) = - \frac{Δ}{4 α}$
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x^{2} - 4 x + 3 (α = 1 > 0) : η f \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} ελ \overset{α}{ˊ} χιστο - 1 στο x = 2.$
•
Αν $α < 0$ : η παραβολή στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Η $f$ παρουσιάζει στο x_ $K = - \frac{β}{2 α}$ ολικό ΜΕΓΙΣΤΟ ίσο με y_ $K = - \frac{Δ}{4 α}$ . $α < 0 : μ \overset{ε}{ˊ} γιστο f (x_{K}) = - \frac{Δ}{4 α}$
•
Σύνολο τιμών: $α > 0 : f (R) = [- \frac{Δ}{4 α}, + \infty)$
•
Όταν $α < 0$ : $α < 0 : f (R) = (- \infty, - \frac{Δ}{4 α}]$

📈Μονοτονία

•
Αν $α > 0$ : η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (−∞, x_K] και γνησίως αύξουσα στο [x_K, +∞), όπου x_ $K = - \frac{β}{2 α}$ .
•
Αν $α < 0$ : η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (−∞, x_K] και γνησίως φθίνουσα στο [x_K, +∞).
❓ Γιατί:Όπως και στη $y = α x^{2}$ , η συνάρτηση «αλλάζει» μονοτονία στην κορυφή — απλά τώρα η κορυφή δεν βρίσκεται στο 0 αλλά στο x_ $K = - \frac{β}{2 α}$ .

🚦Τομές με τους άξονες — πρόσημο

•
Τομές με τον άξονα $x$ ′ $x$ : λύνουμε την εξίσωση $α x^{2} + β x + γ = 0$ . Έχουμε 2 σημεία αν $Δ > 0, 1$ σημείο (διπλή ρίζα) αν $Δ = 0$ , καμία τομή αν $Δ < 0$ .
💡 Παράδειγμα:
$x^{2} - 4 x + 3 = 0 \to x = 1 \overset{η}{ˊ} x = 3 \to τ \overset{ε}{ˊ} μνει τον x^{'} x στα (1, 0) και (3, 0) .$
•
Τομή με τον άξονα $y$ ′ $y$ : στο σημείο (0, γ), αφού $f (0) = γ$ .
•
Το πρόσημο της $f$ καθορίζεται από το πρόσημο του α και από τη διακρίνουσα Δ — όπως μελετήθηκε στη θεωρία των ανισώσεων 2ου βαθμού.
❓ Γιατί:Η γραφική παράσταση του τριωνύμου δείχνει άμεσα το πρόσημο: όπου βρίσκεται πάνω από τον $x$ ′ $x$ η $f$ είναι θετική, όπου κάτω είναι αρνητική.
📎 Δες και:

🧭Μέθοδος εύρεσης κορυφής (πρακτικά)

•
Πρακτικά, για να βρούμε γρήγορα την κορυφή της παραβολής $f (x) = α x^{2} + β x + γ$ : υπολογίζουμε πρώτα x_ $K = - \frac{β}{2 α}$ , και μετά αντικαθιστούμε στη συνάρτηση για να βρούμε y_K = $f (x_{K})$ .
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5 : x_{K} = \frac{8}{4} = 2, y_{K} = f (2) = 8 - 16 + 5 = - 3 \to K (2, - 3) .$
•
Εναλλακτικά, εφαρμόζουμε άμεσα συμπλήρωση τετραγώνου για να γράψουμε τη συνάρτηση στη μορφή α(x − x_K)² + y_K και να διαβάσουμε την κορυφή.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x^{2} - 4 x + 3 = (x - 2)^{2} - 1.$
Άρα κορυφή (2, −1).

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοla-7.3-m1
Βρες την κορυφή της παραβολής $y = x^{2} - 4 x + 3$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Κορυφή: $x = - \frac{β}{2 α} = \frac{4}{2} = 2$ .
2. 2
  $y (2) = 4 - 8 + 3 = - 1$ .
3. 3
  Κορυφή: (2, −1).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοla-7.3-m1
Βρες την κορυφή της παραβολής $y = x^{2} - 4 x + 3$ .
2Δύσκολοla-7.3-h1
Δίνεται $f (x) = 4 x^{2} - 12 x + 25 - λ$ . Δείξε ότι ισχύει $f (x) = (2 x - 3)^{2} + 16 - λ$ και βρες πότε $f (x) > 0$ για κάθε $x$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

7.2 Η Συνάρτηση f(x) = α/x