Κεφ. 1 - Συστήματα εξισώσεων›1.2 Επίλυση Προβλημάτων με Συστήματα

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Συστήματα εξισώσεων

§1.2 Επίλυση προβλημάτων με συστήματα

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🪜Στρατηγική επίλυσης

•
Βήμα 1 — Κατανόηση: Διαβάζουμε προσεκτικά το πρόβλημα και εντοπίζουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα. Σημειώνουμε ποια μεγέθη είναι γνωστά και ποια ζητάμε να βρούμε.
•
Βήμα 2 — Επιλογή αγνώστων: Διαλέγουμε ως άγνωστους $x$ και $y$ (ή άλλα γράμματα) δύο από τα μεγέθη που ζητούνται. Σημαντικό: ορίζουμε ξεκάθαρα τι παριστάνει κάθε άγνωστος, με τη μονάδα μέτρησης (έτη, km, kg, …).
•
Βήμα 3 — Διατύπωση εξισώσεων: Μεταφράζουμε τις λεκτικές σχέσεις του προβλήματος σε δύο μαθηματικές εξισώσεις με τους δύο αγνώστους.
•
Βήμα 4 — Επίλυση: Επιλύουμε το σύστημα με όποια μέθοδο μας βολεύει (αντικατάσταση, αντίθετοι συντελεστές, Cramer).
•
Βήμα 5 — Έλεγχος: Επιστρέφουμε στις συνθήκες του προβλήματος και ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε είναι λογικές και αποδεκτές (π.χ. ηλικία $> 0$ , ταχύτητα $> 0$ , ακέραιο πλήθος).
❓ Γιατί:Μερικές φορές το σύστημα έχει λύση μαθηματικά, αλλά η λύση δεν ταιριάζει με τη φύση του προβλήματος (π.χ. αρνητική ηλικία). Ο έλεγχος είναι απαραίτητος.

👨‍👦Προβλήματα ηλικιών

•
Στα προβλήματα ηλικιών συνήθως δίνονται σχέσεις μεταξύ ηλικιών διαφορετικών προσώπων είτε σήμερα είτε σε άλλη χρονική στιγμή (πριν ή μετά από κάποια χρόνια).
•
Παράδειγμα: «Ο πατέρας έχει σήμερα τριπλάσια ηλικία από τον γιο. Σε 10 χρόνια θα έχει διπλάσια. Να βρεθούν οι σημερινές ηλικίες».
💡 Παράδειγμα:
$x = ηλικ \overset{ι}{ˊ} α πατ \overset{ε}{ˊ} ρα σ \overset{η}{ˊ} μερα, y = ηλικ \overset{ι}{ˊ} α γιου σ \overset{η}{ˊ} μερα . Σ \overset{υ}{ˊ} στημα : {x = 3 y, x + 10 = 2 (y + 10)}$ $⟺ {x = 3 y, x = 2 y + 10} . Άρα 3 y = 2 y + 10 \to y = 10, x = 30.$
•
Προσοχή: όταν αναφερόμαστε σε ηλικίες πριν ή μετά, ΟΛΕΣ οι ηλικίες αλλάζουν κατά τον ίδιο αριθμό ετών.

🧪Προβλήματα μιγμάτων

•
Στα προβλήματα μιγμάτων αναμειγνύουμε δύο συστατικά διαφορετικής συγκέντρωσης (ή τιμής) για να φτιάξουμε μίγμα με δεδομένη συγκέντρωση. Συνήθως γράφουμε ΔΥΟ εξισώσεις: μία για τη συνολική ποσότητα και μία για τη συνολική «δραστική ουσία» (ή αξία).
•
Παράδειγμα: «Έχουμε διάλυμα 30% και διάλυμα 50%. Πόσα λίτρα από το καθένα χρειαζόμαστε για να φτιάξουμε 10 λίτρα διαλύματος 42%;».
💡 Παράδειγμα:
$x = λ \overset{ι}{ˊ} τρα του 30$ $⟺ {x + y = 10, 30 x + 50 y = 420} . Λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 4 λ \overset{ι}{ˊ} τρα, y = 6 λ \overset{ι}{ˊ} τρα .$

🚣Προβλήματα κίνησης (ταχύτητες, ρεύμα)

•
Σε κίνηση μέσα σε ρευστό (ποτάμι, αέρας): η ταχύτητα ΚΑΤΑ ρεύμα ισούται με την ταχύτητα του σκάφους ΣΥΝ την ταχύτητα του ρεύματος. Η ταχύτητα ΑΝΤΙ ρεύμα ισούται με του σκάφους ΜΕΙΟΝ το ρεύμα. $u_{κατ \overset{α}{ˊ}} = u_{σκ \overset{α}{ˊ} φους} + u_{ρε \overset{υ}{ˊ} ματος}$
•
Αντί ρεύμα: $u_{αντ \overset{ι}{ˊ}} = u_{σκ \overset{α}{ˊ} φους} - u_{ρε \overset{υ}{ˊ} ματος}$
•
Παράδειγμα: «Σκάφος διανύει 30 km κατά ρεύμα σε 2 ώρες και 30 km αντί ρεύμα σε 3 ώρες. Να βρεθούν οι ταχύτητες σκάφους και ρεύματος».
💡 Παράδειγμα:
$x = ταχ \overset{υ}{ˊ} τητα σκ \overset{α}{ˊ} φους, y = ταχ \overset{υ}{ˊ} τητα ρε \overset{υ}{ˊ} ματος . Σ \overset{υ}{ˊ} στημα : {(x + y) \cdot 2 = 30, (x - y) \cdot 3 = 30}$ $⟺ {x + y = 15, x - y = 10} . Λ \overset{υ}{ˊ} ση : x = 12, 5 km / h, y = 2, 5 km / h .$

🧠Άλλοι τύποι προβλημάτων

•
Δύο αριθμοί με γνωστό άθροισμα και διαφορά: το πιο απλό σύστημα. Άθροισμα $= S$ , διαφορά $= D$ → $x = \frac{S + D}{2}, y = \frac{S - D}{2}$ .
💡 Παράδειγμα:
$« Δ \overset{υ}{ˊ} ο αριθμο \overset{ι}{ˊ} \overset{ε}{ˊ} χουν \overset{α}{ˊ} θροισμα 30 και διαφορ \overset{α}{ˊ} 8» : {x + y = 30, x - y = 8} \to x = 19, y = 11.$
•
Προβλήματα γεωμετρίας: συχνά οι άγνωστοι είναι μήκη πλευρών ή γωνιών. Χρησιμοποιούμε γεωμετρικές σχέσεις (περίμετρος, εμβαδόν, Πυθαγόρειο θεώρημα, άθροισμα γωνιών τριγώνου $= 180$ °).
•
Προβλήματα με ψηφία ακέραιου: αν ένας διψήφιος έχει ψηφία α και β, γράφεται ως $10 α + β$ . Αν αντιστραφούν, γίνεται $10 β + α$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Στα προβλήματα με συστήματα ορίζουμε πρώτα με σαφήνεια τι παριστάνει κάθε άγνωστος, μαζί με τη μονάδα μέτρησης.

2Σωστό / Λάθος

Σε προβλήματα ηλικιών, μετά από

κ

χρόνια κάθε ηλικία αυξάνεται κατά

κ

3Πολλαπλής επιλογής

Ένας διψήφιος με ψηφίο δεκάδων

α

και ψηφίο μονάδων

β

γράφεται:

4Πολλαπλής επιλογής

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα

S

και διαφορά

D

. Ο μεγαλύτερος είναι:

5Σωστό / Λάθος

Σε κίνηση κατά ρεύμα, η ταχύτητα του σκάφους ως προς την όχθη ισούται με την ταχύτητα του σκάφους συν την ταχύτητα του ρεύματος.

6Πολλαπλής επιλογής

Σε 10 λίτρα διαλύματος περιεκτικότητας 42% η ποσότητα της δραστικής ουσίας είναι:

7Σωστό / Λάθος

Αν το σύστημα ενός προβλήματος δώσει αρνητική ηλικία, η λύση απορρίπτεται.

8Πολλαπλής επιλογής

Σε ένα τραπέζι τα παιδιά είναι 5 περισσότερα από τους γονείς. Αν

x

οι γονείς και

y

τα παιδιά, ισχύει:

9Πολλαπλής επιλογής

Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20 € και 50 € συνολικής αξίας 480 €. Αν

x

y

τα πλήθη τους, το σύστημα είναι:

10Σωστό / Λάθος

Το τελευταίο βήμα κάθε προβλήματος είναι ο έλεγχος αν οι τιμές που βρήκαμε είναι λογικά αποδεκτές.

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-1.2-m1
Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20€ και 50€ συνολικής αξίας 480€. Βρες το πλήθος κάθε είδους.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Σύστημα: $x + y = 15, 20 x + 50 y = 480$ . Από 1η: $x = 15 - y$ . Στη 2η: $300 - 20 y + 50 y = 480$
2. 2
  $30 y = 180$
3. 3
  $y = 6, x = 9$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-1.2-m1
Ο Κώστας έχει 15 χαρτονομίσματα των 20€ και 50€ συνολικής αξίας 480€. Βρες το πλήθος κάθε είδους.
2Δύσκολοlb-1.2-h1
Σε συνεστίαση είναι γονείς και τα παιδιά τους. Τα παιδιά είναι 5 περισσότερα από τους γονείς. Κάθε γονιός πλήρωσε 12€ και κάθε παιδί τα μισά. Συνολικός λογαριασμός 300€. Βρες πόσοι γονείς και παιδιά υπήρχαν.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Σε κάθε πρόβλημα που μεταφράζεται σε σύστημα δύο εξισώσεων.

Βήματα

1Κατανόηση: εντόπισε δεδομένα και ζητούμενα.
2Άγνωστοι: όρισε $x$ , $y$ με σαφήνεια (και μονάδα μέτρησης).
3Εξισώσεις: μετάφρασε τις λεκτικές σχέσεις σε δύο εξισώσεις, λύσε το σύστημα και έλεγξε αν η λύση είναι λογικά αποδεκτή.

Παράδειγμα

«Δύο αριθμοί με άθροισμα

30

και διαφορά

8

»:

x + y = 30

x - y = 8

, άρα

x = 19

y = 11

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $30$ και διαφορά $8$ . Να τους βρείτε.
2
Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $50$ και διαφορά $12$ . Να τους βρείτε.
3
Ο πατέρας έχει σήμερα τριπλάσια ηλικία από τον γιο. Σε $10$ χρόνια θα έχει διπλάσια. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες.
4
Πόσα λίτρα διαλύματος 30% και πόσα 50% χρειάζονται για 10 λίτρα διαλύματος 42%;
5
Σκάφος διανύει $30$ km κατά ρεύμα σε $2$ ώρες και $30$ km αντί ρεύμα σε $3$ ώρες. Να βρείτε τις ταχύτητες.
6
Ο Κώστας έχει $15$ χαρτονομίσματα των 20 € και 50 €, συνολικής αξίας 480 €. Πόσα από κάθε είδος;
7
Σε συνεστίαση τα παιδιά είναι $5$ περισσότερα από τους γονείς· κάθε γονιός πληρώνει 12 € και κάθε παιδί 6 €, σύνολο 300 €. Πόσοι ήταν;
8
Διψήφιος με άθροισμα ψηφίων $9$ · αν αντιστραφούν τα ψηφία, ο αριθμός μεγαλώνει κατά $27$ . Ποιος είναι;
9
Δύο καφέδες και τρία τσάι κοστίζουν 7 €· τρεις καφέδες και δύο τσάι 8 €. Πόσο κοστίζει το καθένα;
10
Ορθογώνιο έχει περίμετρο $20$ και μήκος κατά $4$ μεγαλύτερο από το πλάτος. Να βρείτε τις διαστάσεις.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Ο Κώστας καταθέτει

15

χαρτονομίσματα των 20 € και 50 €, συνολικής αξίας 480 €. Αν

x

y

τα πλήθη των χαρτονομισμάτων των 20 € και 50 € αντίστοιχα, να βρείτε πόσα είναι από κάθε είδος.

Σε συνεστίαση τα παιδιά είναι

5

περισσότερα από τους γονείς. Κάθε γονιός πλήρωσε 12 € και κάθε παιδί 6 €, με συνολικό λογαριασμό 300 €. Αν

x

οι γονείς και

y

τα παιδιά, να βρείτε πόσοι ήταν.

Πόσα λίτρα διαλύματος 20% και πόσα 60% χρειάζονται για να φτιάξουμε

8

λίτρα διαλύματος 45%;

Βάρκα διανύει

24

km κατά ρεύμα σε

2

ώρες και

24

km αντί ρεύμα σε

4

ώρες. Να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας και του ρεύματος.

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Η μητέρα έχει σήμερα τετραπλάσια ηλικία από την κόρη. Πριν από

5

χρόνια είχε επταπλάσια. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες.

Σε έναν διψήφιο αριθμό το ψηφίο των δεκάδων είναι κατά

2

μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων. Ο αριθμός είναι

7

φορές το άθροισμα των ψηφίων του. Να τον βρείτε.

Κεφάλαιο 10000 € μοιράζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο τοκίζεται με 3% και το δεύτερο με 5% ετησίως, αποφέροντας συνολικό τόκο 380 € σε έναν χρόνο. Να βρείτε τα δύο μέρη.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Σε ένα θέατρο τα εισιτήρια ενηλίκων κοστίζουν 8 € και τα παιδικά 5 €. Μια παράσταση είχε

200

θεατές και έσοδα 1330 €.

α) Αν

x

οι ενήλικες και

y

τα παιδιά, να σχηματίσετε το σύστημα.

β) Να βρείτε πόσα εισιτήρια κάθε είδους πουλήθηκαν.

γ) Να βρείτε τα έσοδα αν την επόμενη μέρα πουληθούν

120

εισιτήρια ενηλίκων και

70

παιδικά.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.2 Προβλήματα με συστήματα

Ύλη: §1.2Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: σε προβλήματα ηλικιών, μετά από

κ

χρόνια κάθε ηλικία αυξάνεται κατά

κ

β) Πώς γράφεται ένας διψήφιος με ψηφίο δεκάδων

α

και ψηφίο μονάδων

β

;

ΘΕΜΑ Β

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα

24

και διαφορά

6

. Να τους βρείτε.

ΘΕΜΑ Γ

Τρία μολύβια και δύο στυλό κοστίζουν 1,30 €, ενώ δύο μολύβια και πέντε στυλό κοστίζουν 1,60 €. Πόσο κοστίζει το καθένα;

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

⫝ Quiz · Συστήματα εξισώσεων

← Προηγούμενο

1.1 Γραμμικά Συστήματα 2×2

Επόμενο →

2.1 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις