Κεφ. 2 - Συναρτήσεις›2.1 Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 2 - Συναρτήσεις

§2.1 Άρτιες & περιττές συναρτήσεις

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔁Προϋπόθεση: συμμετρικό πεδίο ορισμού

•
Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση $f$ είναι άρτια ή περιττή, ΠΡΕΠΕΙ πρώτα το πεδίο ορισμού της Α να είναι συμμετρικό ως προς το 0 — δηλαδή, για κάθε $x$ ∈ Α να ισχύει επίσης − $x$ ∈ Α.
$x \in A$ $⟺ - x \in A$
💡 Παράδειγμα:
$T ο πεδ \overset{ι}{ˊ} ο A = [- 3, 3] ε \overset{ι}{ˊ} ναι συμμετρικ \overset{ο}{ˊ}, εν \overset{ω}{ˊ} τ ο A = [0, 5] ΔΕΝ ε \overset{ι}{ˊ} ναι .$
•
Αν αυτή η προϋπόθεση δεν ικανοποιείται, η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή — ανεξάρτητα από τον τύπο της.
❓ Γιατί:Δεν έχει νόημα να συγκρίνουμε $f (- x)$ με $f (x)$ ή − $f (x)$ , αν δεν είναι ορισμένα και τα δύο. Άρα το πεδίο ορισμού πρέπει να περιέχει το $x$ και το − $x$ μαζί.

🪞Άρτια συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α (συμμετρικό ως προς το 0) λέγεται άρτια, όταν για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει $f (- x) = f (x)$ . $f (- x) = f (x), για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα $y$ ′ $y$ .
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα \overset{α}{ˊ} ρτιων : f (x) = x^{2}, f (x) = x^{4}, f (x) = ∣ x ∣, f (x) = συν x .$
▶️ Άρτια/περιττή — σύρε σημείο Μ και δες το κάτοπτρο Μ′ (άξονας y′y ή κέντρο Ο).
Μ(2,4, 0,42) → Μ′(-2,4, 0,42) · f(−x) = f(x) · συμμετρία ως προς τον άξονα y′y
Σύρε το Μ — δες πού πέφτει το κάτοπτρό του Μ′.
❓ Γιατί:Αν (x, $y$ ) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε και το (− $x$ , $y$ ) ανήκει — αφού $f (- x) = f (x) = y$ . Άρα κάθε σημείο έχει συμμετρικό ως προς τον $y$ ′ $y$ .
•
Σε πολυωνυμική συνάρτηση: αν όλοι οι εκθέτες είναι ΑΡΤΙΟΙ (ή ο σταθερός όρος είναι ο μόνος μη μηδενικός), η συνάρτηση είναι άρτια.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 ε \overset{ι}{ˊ} ναι \overset{α}{ˊ} ρτια (εκθ \overset{ε}{ˊ} τες 4, 2, 0) .$

🔄Περιττή συνάρτηση

•
Μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού Α (συμμετρικό ως προς το 0) λέγεται περιττή, όταν για κάθε $x$ ∈ Α ισχύει $f (- x) = - f (x)$ . $f (- x) = - f (x), για κ \overset{α}{ˊ} θε x \in A$
•
Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων.
💡 Παράδειγμα:
$Παραδε \overset{ι}{ˊ} γματα περιττ \overset{ω}{ˊ} ν : f (x) = x, f (x) = x^{3}, f (x) = \frac{1}{x}, f (x) = η μx, f (x) = εφ x .$
❓ Γιατί:Αν (x, $y$ ) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε και το (− $x$ , − $y$ ) — αφού $f (- x) = - f (x) = - y$ . Άρα κάθε σημείο έχει συμμετρικό ως προς το Ο.
•
Σε πολυωνυμική συνάρτηση: αν όλοι οι εκθέτες είναι ΠΕΡΙΤΤΟΙ και ΔΕΝ υπάρχει σταθερός όρος, η συνάρτηση είναι περιττή.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = 2 x^{5} - x^{3} + 4 x ε \overset{ι}{ˊ} ναι περιττ \overset{η}{ˊ} (εκθ \overset{ε}{ˊ} τες 5, 3, 1) .$
•
Αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο 0, τότε αναγκαστικά $f (0) = 0$ .
📐 Απόδειξη:
$Στον ορισμ \overset{ο}{ˊ} β \overset{α}{ˊ} ζουμε x = 0 :$ $⟺ f (- 0) = - f (0)$ $⟺ f (0) = - f (0)$ $⟺ 2 f (0) = 0$ $⟺ f (0) = 0.$

🧪Πώς ελέγχουμε — μη άρτια, μη περιττή

•
Μεθοδολογία: (1) Ελέγχουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0. (2) Υπολογίζουμε το $f (- x)$ . (3) Συγκρίνουμε με $f (x)$ (άρτια) και με − $f (x)$ (περιττή).
•
Πολλές συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές.
💡 Παράδειγμα:
$f (x) = x + 1 : f (- x) = - x + 1, f (x) = x + 1, - f (x) = - x - 1.$
$Δεν ισχ \overset{υ}{ˊ} ει ο \overset{υ}{ˊ} τε f (- x) = f (x) ο \overset{υ}{ˊ} τε f (- x) = - f (x) .$
•
Η σταθερή συνάρτηση $f (x) = c$ είναι άρτια. Αν επιπλέον $c = 0$ , είναι και περιττή (η μηδενική είναι η μοναδική που είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή).
❓ Γιατί:Για $c = 0$ ισχύει $0 = 0$ και $0 = - 0$ ταυτόχρονα.

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή, το πεδίο ορισμού της πρέπει να είναι συμμετρικό ως προς το

0

2Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{2}

είναι περιττή.

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττή;

4Πολλαπλής επιλογής

Αν η

f

είναι άρτια και

f (3) = 5

, τότε

f (- 3) =

5Σωστό / Λάθος

Αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο

0

, τότε αναγκαστικά

f (0) = 0

6Πολλαπλής επιλογής

Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει:

7Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x + 1

είναι άρτια.

8Πολλαπλής επιλογής

Αν η

f

είναι περιττή και

f (- 2) = 7

, τότε

f (2) =

9Σωστό / Λάθος

Η σταθερή συνάρτηση

f (x) = 4

είναι άρτια.

10Πολλαπλής επιλογής

Μια πολυωνυμική συνάρτηση με μόνο περιττούς εκθέτες και χωρίς σταθερό όρο είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-2.1-m1
Δίνεται συνάρτηση $f$ με $f (- 1) = 2$ και $f (1) = 0$ . Αιτιολόγησε γιατί δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Άρτια: θα έπρεπε $f (- 1) = f (1)$
2. 2
  $2 \neq = 0$ . Περιττή: θα έπρεπε $f (- 1) = - f (1)$
3. 3
  $2 \neq = 0$ . Καμία από τις δύο.
2Εύκολοlb-2.1-e2
Εξέτασε αν η $f (x) = x^{3} + 2 x$ είναι περιττή.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $f (- x) = - x^{3} - 2 x = - (x^{3} + 2 x) = - f (x)$ .
2. 2
  Ναι, περιττή.
3Εύκολοlb-2.1-e1
Εξέτασε αν η $f (x) = x^{2} + 1$ είναι άρτια.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $f (- x) = (- x)^{2} + 1 = x^{2} + 1 = f (x)$ .
2. 2
  Ναι, άρτια.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-2.1-m1
Δίνεται συνάρτηση $f$ με $f (- 1) = 2$ και $f (1) = 0$ . Αιτιολόγησε γιατί δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν δίνεται ο τύπος της

f

και ζητείται αν είναι άρτια, περιττή ή κανένα από τα δύο.

Βήματα

1Βεβαιώσου ότι το πεδίο ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το $0$ (για κάθε $x$ ανήκει και το $- x$ ).
2Υπολόγισε το $f (- x)$ αντικαθιστώντας όπου $x$ το $- x$ .
3Αν $f (- x) = f (x)$ η $f$ είναι άρτια· αν $f (- x) = - f (x)$ είναι περιττή· αλλιώς κανένα από τα δύο.

Παράδειγμα

Για

f (x) = x^{4} - 3 x^{2}

f (- x) = x^{4} - 3 x^{2} = f (x)

— άρτια.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ είναι άρτια ή περιττή.
2
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{3} + x$ είναι άρτια ή περιττή.
3
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{2} + x$ είναι άρτια ή περιττή.
4
Η $f$ είναι άρτια και $f (5) = - 2$ . Να βρείτε το $f (- 5)$ .
5
Η $f$ είναι περιττή και $f (4) = 9$ . Να βρείτε το $f (- 4)$ .
6
Να εξετάσετε αν η $f (x) = 2 x^{5} - x^{3}$ είναι άρτια ή περιττή.
7
Να εξετάσετε αν η $f (x) = ∣ x ∣ + 1$ είναι άρτια ή περιττή.
8
Μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο $0$ . Πόσο είναι το $f (0)$ ;
9
Να εξετάσετε αν η σταθερή $f (x) = 5$ είναι άρτια ή περιττή.
10
Να εξετάσετε αν η $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ είναι άρτια ή περιττή.

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες4 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3} - 4 x

είναι περιττή.

Για μια συνάρτηση

f

ισχύει

f (- 1) = 2

και

f (1) = 0

. Να αποδείξετε ότι η

f

δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{2} - 2∣ x ∣ + 1

είναι άρτια ή περιττή.

Αν η

f

είναι άρτια και η

g

περιττή (με κοινό συμμετρικό πεδίο ορισμού), να αποδείξετε ότι το γινόμενο

h (x) = f (x) \cdot g (x)

είναι περιττή συνάρτηση.

💎Πολύ δύσκολες3 ασκήσεις

Να εξετάσετε αν η

f (x) = \frac{x ^{3} - x}{x ^{2} + 2}

είναι άρτια ή περιττή.

Για μια συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το ℝ ισχύει

f (x) + f (- x) = 0

για κάθε

x

. Να αποδείξετε ότι η

f

είναι περιττή και ότι

f (0) = 0

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = - 9 - x^{2}

. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να αποδείξετε ότι είναι άρτια.

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων1 θέματα

Θ1

Δίνεται περιττή συνάρτηση

f

με πεδίο ορισμού το ℝ, για την οποία ισχύει

f (1) = 3

και

f (2) = - 1

α) Να βρείτε το

f (- 1)

β) Να βρείτε το

f (- 2)

γ) Να υπολογίσετε το

f (0)

δ) Αν

g (x) = f (x) + x^{3}

, να αποδείξετε ότι η

g

είναι περιττή.

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §2.1 Άρτιες & περιττές συναρτήσεις

Ύλη: §2.1Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται άρτια;

β) Σωστό ή Λάθος: αν μια περιττή συνάρτηση ορίζεται στο

0

, τότε

f (0) = 0

ΘΕΜΑ Β

α) Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{4} + 2 x^{2}

είναι άρτια ή περιττή.

β) Να εξετάσετε αν η

f (x) = x^{3} - x

είναι άρτια ή περιττή.

ΘΕΜΑ Γ

f

είναι άρτια και

f (2) = 5

. Να βρείτε το

f (- 2)

και να εξετάσετε αν η

g (x) = x^{2} + 1

είναι άρτια.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

📊 Quiz · Συναρτήσεις (Λύκειο)

← Προηγούμενο

1.2 Επίλυση Προβλημάτων με Συστήματα

Επόμενο →

2.2 Μονοτονία - Ακρότατα