Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία›3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία

§3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας

📖 Θεωρία 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση

⭕Ορισμός με τριγωνομετρικό κύκλο

•
Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οxy, για μια γωνία ω (μετρημένη από τον θετικό ημιάξονα Οx), παίρνουμε σημείο Μ(x, $y$ ) πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Έστω $ρ = OM$ η απόστασή του από την αρχή Ο. $ρ = x^{2} + y^{2}$
•
Ημίτονο της γωνίας ω — λόγος της τεταγμένης $y$ προς την απόσταση ρ: $ημ ω = \frac{y}{ρ}$
▶️ Πλήρης μοναδιαίος κύκλος 0°–360° · slider γωνίας · τεταρτημόρια & πρόσημα.
συνω = x0.500
ημω = y0.866
εφω = y/x1.732
1ο τεταρτημόριο · ημω+, συνω+, εφω+
ω = 60°
Σύρε το Μ γύρω από τον κύκλο — ή χρησιμοποίησε το slider.
•
Συνημίτονο της γωνίας ω — λόγος της τετμημένης $x$ προς την απόσταση ρ: $συν ω = \frac{x}{ρ}$
•
Εφαπτομένη της γωνίας ω — λόγος ημω προς συνω (ορίζεται όταν $x$ ≠ 0): $εφ ω = \frac{y}{x} (x \neq = 0)$
•
Συνεφαπτομένη της γωνίας ω — αντίστροφος της εφαπτομένης (ορίζεται όταν $y$ ≠ 0): $σφ ω = \frac{x}{y} (y \neq = 0)$
•
Στον μοναδιαίο κύκλο $(ρ = 1)$ : συνω $= x - συν$ τεταγμένη, ημω $= y - συν$ τεταγμένη του Μ.

🧭Πρόσημα ανά τεταρτημόριο

•
1ο τεταρτ. (0°–90°): ημω $> 0, συν$ ω $> 0, εφ$ ω $> 0$ .
•
2ο τεταρτ. (90°–180°): ημω $> 0, συν$ ω $< 0, εφ$ ω $< 0$ .
•
3ο τεταρτ. (180°–270°): ημω $< 0, συν$ ω $< 0, εφ$ ω $> 0$ .
•
4ο τεταρτ. (270°–360°): ημω $< 0, συν$ ω $> 0, εφ$ ω $< 0$ .
❓ Γιατί:Καθορίζονται από τα πρόσημα του $x$ και του $y$ στο σημείο Μ. Συστηματικός κανόνας: «Ο.Η.Ε.Σ.» (Όλοι θετικοί στο 1ο, μόνο Ημίτονο στο 2ο, μόνο Εφαπτομένη στο 3ο, μόνο Συνημίτονο στο 4ο).

🟰Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

•
Πυθαγόρεια ταυτότητα: $ημ^{2} ω + συν^{2} ω = 1$
•
Η εφαπτομένη εκφράζεται ως πηλίκο ημιτόνου προς συνημίτονο: $εφ ω = \frac{ημ ω}{συν ω}$
•
Η συνεφαπτομένη εκφράζεται ως πηλίκο συνημιτόνου προς ημίτονο: $σφ ω = \frac{συν ω}{ημ ω}$
•
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι αντίστροφες — το γινόμενό τους ισούται με 1: $εφ ω \cdot σφ ω = 1$
•
Αντίθετες γωνίες (ω και −ω): το ημίτονο αλλάζει πρόσημο, ενώ το συνημίτονο μένει ίδιο. $ημ (- ω) = - ημ ω$
•
Αντίθετες γωνίες — το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση: $συν (- ω) = συν ω$
•
Συμπληρωματικές γωνίες (ω και 90° − ω): το ημίτονο της μίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης. $ημ (9 0^{\circ} - ω) = συν ω$
•
Συμπληρωματικές γωνίες — και αντίστροφα: $συν (9 0^{\circ} - ω) = ημ ω$

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-3.1-m1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και θ στο 2ο τεταρτημόριο, βρες εφθ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο 2ο τεταρτημόριο συνθ $< 0$ : $συν^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. 2
  συνθ $= - \frac{4}{5}$ . Άρα εφθ $= η μ$ θ $/ συν$ θ $= \frac{\frac{3}{5}}{- \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4}$ .
2Εύκολοlb-3.1-e1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και η θ είναι στο 2ο τεταρτημόριο, βρες συνθ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Στο 2ο τεταρτημόριο: συνθ $< 0$ . $συν^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
2. 2
  συνθ $= - \frac{4}{5}$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-3.1-m1
Αν ημθ $= \frac{3}{5}$ και θ στο 2ο τεταρτημόριο, βρες εφθ.

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

🔺 Quiz · Τριγωνομετρία (Λύκειο)

← Προηγούμενο

2.2 Μονοτονία - Ακρότατα

Επόμενο →

3.2 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις