Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία›3.2 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 3 - Τριγωνομετρία

§3.2 Τριγωνομετρικές εξισώσεις

•
$η μx = η μ$ θ ⇔ $x = 2 k π + θ$ ή $x = 2 k π + (π - θ), k$ ∈ ℤ.
$η μx = ημ θ$ $⟺ x = 2 k π + θ \overset{η}{ˊ} x = 2 k π + π - θ$
💡 Παράδειγμα:
$η μx = \frac{1}{2} \to x = 2 k π + \frac{π}{6} \overset{η}{ˊ} x = 2 k π + \frac{5 π}{6} .$
•
$συν x = συν$ θ ⇔ $x = 2 k π + θ$ ή $x = 2 k π - θ, k$ ∈ ℤ.
$συν x = συν θ$ $⟺ x = 2 k π \pm θ$
💡 Παράδειγμα:
$συν x = 0 \to x = \frac{π}{2} + k π .$
•
$εφ x = εφ$ θ ⇔ $x = k π + θ, k$ ∈ ℤ.
$εφ x = εφ θ$ $⟺ x = k π + θ$
💡 Παράδειγμα:
$εφ x = 1 \to x = k π + \frac{π}{4} .$
❓ Γιατί:Η περιοδικότητα είναι 2π για ημ και συν, αλλά π για εφ. Γι' αυτό η εφ έχει μία οικογένεια λύσεων ανά π, ενώ ημ και συν δύο ανά 2π.

•
$η μx = 0$ ⇔ $x = k π$ . $η μx = 1$ ⇔ $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ . $η μx = - 1$ ⇔ $x = - \frac{π}{2} + 2 k π$ .
•
$συν x = 0$ ⇔ $x = \frac{π}{2} + k π$ . $συν x = 1$ ⇔ $x = 2 k π$ . $συν x = - 1$ ⇔ $x = π + 2 k π$ .
•
Αν |ημx| $> 1$ ή |συνx| $> 1$ : αδύνατη (το ημ και συν παίρνουν τιμές μόνο στο [−1, 1]).
💡 Παράδειγμα:
$η μx = 2 \to αδ \overset{υ}{ˊ} νατη .$

•
Με αλλαγή μεταβλητής: π.χ. αν εμφανίζεται η $μ^{2}$ $x$ , θέτουμε $t = η μx$ και λύνουμε ως δευτεροβάθμια στο $t$ .
💡 Παράδειγμα:
$2 η μ^{2} x - η μx - 1 = 0.$
$t = η μx \to 2 t^{2} - t - 1 = 0 \to t = 1 \overset{η}{ˊ} - \frac{1}{2} .$
$Άρα η μx = 1 \overset{η}{ˊ} η μx = - \frac{1}{2} .$
•
Με αλλαγή από συν σε ημ μέσω $η μ^{2} + συν^{2} = 1$ .
💡 Παράδειγμα:
$η μ^{2} x + συν x = 1 \to (1 - συν^{2} x) + συν x = 1 \to συν x (1 - συν x) = 0 \to συν x = 0 \overset{η}{ˊ} συν x = 1.$

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlb-3.2-h1
Δίνεται $f (x) = 2 \cdot συν^{2} (\frac{π}{2} + x) - 3 \cdot ημ (\frac{π}{2} + x)$ . Δείξε ότι $f (x) = 2 \cdot η μ^{2} x - 3 \cdot συν x$ .
2Μεσαίοlb-3.2-m1
Λύσε στο [0, 2π]: $η μx - συν x = 0$ .
3Μεσαίοlb-3.2-m2
Λύσε στο [0, 2π]: $3 \cdot η μx = 3 \cdot συν x$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.