Κεφ. 4 - Πολυώνυμα›4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων - Horner

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Β΄ Λυκείου · Κεφ. 4 - Πολυώνυμα

§4.2 Διαίρεση πολυωνύμων & σχήμα Horner

•
Για κάθε πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και $δ (x) \neq = 0$ (διαιρέτης), υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα πηλίκο π(x) και υπόλοιπο υ(x) με: $Δ (x) = π (x) \cdot δ (x) + υ (x), d e g (υ) < d e g (δ) \overset{η}{ˊ} υ = 0$
•
Όταν $υ (x) = 0$ , λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ακριβώς.
💡 Παράδειγμα:
$\frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1 μ ε υπ \overset{ο}{ˊ} λοιπο 0.$

•
Θεώρημα υπολοίπου: αν διαιρέσουμε το $P (x)$ με $x$ − ρ, το υπόλοιπο είναι ίσο με $P (ρ)$ . $P (x) = (x - ρ) \cdot π (x) + P (ρ)$
💡 Παράδειγμα:
$P (x) = x^{3} - 2 x + 1.$
$P (2) = 8 - 4 + 1 = 5 = υπ \overset{ο}{ˊ} λοιπο \overset{ο}{ˊ} ταν διαιρο \overset{υ}{ˊ} με μ ε x - 2.$
•
Θεώρημα παραγόντων: το (x − ρ) είναι παράγοντας του $P (x)$ ⇔ $P (ρ) = 0$ .
$(x - ρ) ∣ P (x)$ $⟺ P (ρ) = 0$
❓ Γιατί:Συνέπεια του θεωρήματος υπολοίπου: αν υπόλοιπο $= 0$ , τότε διαίρεση ακριβής, άρα (x − ρ) παράγοντας.

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlb-4.2-m2
Η διαίρεση πολυωνύμου $P (x)$ με $x - 3$ έχει πηλίκο $x^{2} + 2$ και υπόλοιπο 4. Δείξε ότι $P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
Ταυτότητα: $P (x) = (x - 3) (x^{2} + 2) + 4 = x^{3} + 2 x - 3 x^{2} - 6 + 4 = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ .
2Μεσαίοlb-4.2-m1
Δίνεται $P (x) = x^{3} - x - 6$ . Δείξε ότι το $x - 2$ είναι παράγοντας και παραγοντοποίησε το $P (x)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  $P (2) = 0$
2. 2
  $x - 2$ παράγοντας. Διαίρεση δίνει: $x^{3} - x - 6 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 3)$ . $Δ = 4 - 12 < 0$ , οπότε το $x^{2} + 2 x + 3 δεν$ παραγοντοποιείται περαιτέρω στο ℝ.
3Εύκολοlb-4.2-e1
Δίνεται $P (x) = x^{3} - x - 6$ . Υπολόγισε το $P (2)$ .
Λύση βήμα-βήμα
$P (2) = 8 - 2 - 6 = 0$ .

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlb-4.2-m1
Δίνεται $P (x) = x^{3} - x - 6$ . Δείξε ότι το $x - 2$ είναι παράγοντας και παραγοντοποίησε το $P (x)$ .
2Μεσαίοlb-4.2-m2
Η διαίρεση πολυωνύμου $P (x)$ με $x - 3$ έχει πηλίκο $x^{2} + 2$ και υπόλοιπο 4. Δείξε ότι $P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 2$ .

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.