Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.3 Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.3 Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

📈Μονοτονία συνάρτησης

•
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για κάθε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) < f (x_{2})$ . (Γράφουμε $f$ ↗ στο Δ.)
•
Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε διάστημα Δ όταν για κάθε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ Δ με $x_{1} < x_{2}$ ισχύει $f (x_{1}) > f (x_{2})$ . (Γράφουμε $f$ ↘ στο Δ.)
•
Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ, λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = x^{2} ε \overset{ι}{ˊ} ναι γνησ \overset{ι}{ˊ} ως φθ \overset{ι}{ˊ} νουσα στο (- \infty, 0] και γνησ \overset{ι}{ˊ} ως α \overset{υ}{ˊ} ξουσα στο [0, + \infty) .$
▶️ Διάλεξε συνάρτηση και σύρε τα x₁, x₂ — δες πού η f ανεβαίνει (πράσινο, αύξουσα) ή κατεβαίνει (κόκκινο, φθίνουσα).
x₁ < x₂ και f(x₁) < f(x₂) → γνησίως αύξουσα ↗ εδώ.
Σύρε τα σημεία x₁, x₂ πάνω στην καμπύλη.

⛰️Ακρότατα συνάρτησης

•
Η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ $A$ (ολικό) μέγιστο, το $f (x_{0})$ , όταν $f (x) \leq f (x_{0})$ για κάθε $x$ ∈ $A$ .
▶️ Διάλεξε μέγιστο/ελάχιστο και σύρε τον δοκιμαστικό x — δες ότι το f(x) δεν περνά ποτέ το f(x₀).
f(x) = 1.72 ≤ f(x₀) = 3.00 → το f(x₀) είναι ολικό μέγιστο.
Σύρε τον δοκιμαστικό x — η τιμή f(x) δεν περνά ποτέ το f(x₀).
•
Η $f$ παρουσιάζει στο $x_{0}$ ∈ $A$ (ολικό) ελάχιστο, το $f (x_{0})$ , όταν $f (x) \geq f (x_{0})$ για κάθε $x$ ∈ $A$ .
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = - x^{2} + 1 \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} μ \overset{ε}{ˊ} γιστο τ ο f (0) = 1.$
$H f (x) = ∣ x - 1∣ \overset{ε}{ˊ} χει ολικ \overset{ο}{ˊ} ελ \overset{α}{ˊ} χιστο τ ο f (1) = 0.$

🎯Συνάρτηση 1-1

•
Η $f$ : $A$ → ℝ λέγεται συνάρτηση 1-1 όταν για οποιαδήποτε $x_{1}$ , $x_{2}$ ∈ $A$ : αν $x_{1} \neq = x_{2}$ , τότε $f (x_{1}) \neq = f (x_{2})$ . (Διαφορετικά $x$ δίνουν διαφορετικές εικόνες.)
•
Ισοδύναμα, και πιο χρήσιμο στις ασκήσεις: αν $f (x_{1}) = f (x_{2})$ , τότε $x_{1} = x_{2}$ .
❓ Γιατί:Είναι η αντιθετοαντιστροφή του ορισμού. Στην πράξη: υποθέτουμε $f (x_{1}) = f (x_{2})$ και προσπαθούμε να καταλήξουμε $x_{1} = x_{2}$ .
•
Γραφικά: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη Cf το πολύ σε ένα σημείο.
▶️ Σύρε την οριζόντια ευθεία πάνω-κάτω — αν κάποια θέση τέμνει τη Cf σε >1 σημεία, η f δεν είναι 1-1.
Η ευθεία τέμνει τη C_f σε 2 σημεία → ίδιο y, διαφορετικά x → ΔΕΝ είναι 1-1.
Γνωστό: η f(x) = x² ΔΕΝ είναι 1-1 ✗. Σύρε την οριζόντια λαβή ↕.
•
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα.
💡 Παράδειγμα:
$H f (x) = α x + β (α \neq = 0) ε \overset{ι}{ˊ} ναι 1 - 1.$
$H f (x) = x^{2} ΔΕΝ ε \overset{ι}{ˊ} ναι 1 - 1, αφο \overset{υ}{ˊ} f (- 1) = f (1) = 1 εν \overset{ω}{ˊ} - 1 \neq = 1.$

🔄Αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹

•
Αν η $f$ είναι 1-1, ορίζεται η αντίστροφή της $f$ ⁻¹: σε κάθε $y$ ∈ $f (A)$ αντιστοιχίζει το μοναδικό $x$ ∈ $A$ για το οποίο $f (x) = y$ .
•
Ισχύει η ισοδυναμία $f (x) = y$ ⇔ $f$ ⁻¹ $(y) = x$ . Άρα $f$ ⁻¹ $(f (x)) = x$ για κάθε $x$ ∈ $A$ , και f(f⁻¹(y)) = $y$ για κάθε $y$ ∈ $f (A)$ .
•
Η $f$ ⁻¹ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών $f (A)$ της $f$ , και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού $A$ της $f$ .
•
Παράδειγμα-κλειδί: η αντίστροφη της εκθετικής $f (x) = α^{x}$ είναι η λογαριθμική $f$ ⁻¹ $(x) = lo g α x (0 < α \neq = 1)$ .
•
Οι γραφικές παραστάσεις της $f$ και της $f$ ⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ .
▶️ Διάλεξε μια 1-1 συνάρτηση και δες την f μαζί με την f⁻¹ — είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
ff⁻¹— — y = x
βάση α = 2
Η f και η f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
❓ Γιατί:Αν το $M (α, β)$ ανήκει στη Cf, τότε $f (α) = β$ ⇔ $f$ ⁻¹ $(β) = α$ , άρα το $M^{'} (β, α)$ ανήκει στη Cf⁻¹. Τα $M$ και $M^{'}$ είναι συμμετρικά ως προς $την y = x$ .
•
Πρακτικός τρόπος εύρεσης: θέτουμε $y = f (x)$ και λύνουμε ως προς $x$ . Τότε $f$ ⁻¹(x) προκύπτει εναλλάσσοντας τα $x$ , $y$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1.

2Σωστό / Λάθος

Η συνάρτηση

f (x) = x^{2}

είναι 1-1 σε όλο το ℝ.

3Πολλαπλής επιλογής

Μια συνάρτηση

f

είναι 1-1 αν και μόνο αν:

4Πολλαπλής επιλογής

Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης

f (x) = α^{x} (0 < α \neq = 1)

είναι:

5Πολλαπλής επιλογής

Οι γραφικές παραστάσεις της

f

και της

f

⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς:

6Πολλαπλής επιλογής

f (x) = - x^{2} + 1

παρουσιάζει:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοlg-1.3-e2
Είναι η $f (x) = - 2 x + 5 συν$ άρτηση 1-1;
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Είναι γραμμική με συντελεστή $α = - 2 \neq = 0$ , άρα γνησίως μονότονη (φθίνουσα).
2. 2
  Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1.
3. 3
  Άρα ναι, είναι 1-1.
2Μεσαίοlg-1.3-m2
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{2}$ (με πεδίο ορισμού το ℝ) είναι 1-1.
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Παρατηρούμε ότι $f (- 1) = 1$ και $f (1) = 1$ , δηλαδή $f (- 1) = f (1) εν \overset{ω}{ˊ} - 1 \neq = 1$ .
2. 2
  Άρα η $f$ ΔΕΝ είναι 1-1 στο ℝ.
3Μεσαίοlg-1.3-m4
Ποιο ακρότατο παρουσιάζει η $f (x) = - x^{2} + 1$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για κάθε $x$ ∈ ℝ ισχύει $- x^{2} \leq 0$ , άρα $- x^{2} + 1 \leq 1 = f (0)$ .
2. 2
  Δηλαδή $f (x) \leq f (0)$ για κάθε $x$ .
3. 3
  Επομένως η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $x_{0} = 0$ , το $f (0) = 1$ .
4Μεσαίοlg-1.3-m3
Να βρείτε την αντίστροφη της $f (x) = e$ ˣ.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η εκθετική είναι 1-1 με σύνολο τιμών (0, +∞).
2. 2
  Θέτουμε $y = e$ ˣ και λύνουμε ως προς $x$ : $x = ln y$ .
3. 3
  Άρα $f$ ⁻¹ $(x) = ln x$ , με πεδίο ορισμού (0, +∞).
5Μεσαίοlg-1.3-m1
Να δείξετε ότι η $f (x) = 3 x - 2$ είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της.
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $f (x_{1}) = f (x_{2})$ .
2. 2
  Τότε $3 x_{1} - 2 = 3 x_{2} - 2$ , οπότε $3 x_{1} = 3 x_{2}$ και $x_{1} = x_{2}$ .
3. 3
  Άρα η $f$ είναι 1-1.
4. 4
  Για την αντίστροφη θέτουμε $y = 3 x - 2$ και λύνουμε ως προς $x$ : $x = \frac{y + 2}{3}$ .
5. 5
  Επομένως $f$ ⁻¹ $(x) = \frac{x + 2}{3}$ .
6Εύκολοlg-1.3-e1
Είναι η $f (x) = 3 x - 2$ γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $x_{1} < x_{2}$ έχουμε $3 x_{1} < 3 x_{2}$ , άρα $3 x_{1} - 2 < 3 x_{2} - 2$ , δηλαδή $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .
2. 2
  Επομένως η $f$ είναι γνησίως αύξουσα (συντελεστής α = 3 > 0).

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlg-1.3-m2
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{2}$ (με πεδίο ορισμού το ℝ) είναι 1-1.
2Μεσαίοlg-1.3-m4
Ποιο ακρότατο παρουσιάζει η $f (x) = - x^{2} + 1$ ;
3Μεσαίοlg-1.3-m1
Να δείξετε ότι η $f (x) = 3 x - 2$ είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της.
4Δύσκολοlg-1.3-h1
Να δείξετε ότι η $f (x) = 2 e^{3 x - 2} + 1$ είναι 1-1 και να βρείτε την αντίστροφή της.
5Μεσαίοlg-1.3-m3
Να βρείτε την αντίστροφη της $f (x) = e$ ˣ.

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται να αποδείξεις ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε διάστημα.

Βήματα

1Πάρε δύο τυχαία $x_{1}, x_{2}$ του διαστήματος με $x_{1} < x_{2}$ .
2Σύγκρινε τα $f (x_{1})$ και $f (x_{2})$ (σχημάτισε τη διαφορά $f (x_{2}) - f (x_{1})$ ή ξεκίνα από το $x_{1} < x_{2}$ ).
3Αν πάντα $f (x_{1}) < f (x_{2})$ είναι γνησίως αύξουσα· αν $f (x_{1}) > f (x_{2})$ γνησίως φθίνουσα.

Παράδειγμα

Για

f (x) = 2 x + 1

: από

x_{1} < x_{2}

προκύπτει

2 x_{1} + 1 < 2 x_{2} + 1

, δηλαδή

f (x_{1}) < f (x_{2})

— γνησίως αύξουσα.

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Να αποδείξετε ότι η $f (x) = 3 x + 2$ είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.
2
Η $f$ είναι γνησίως αύξουσα. Να λύσετε την ανίσωση $f (x) > f (5)$ .
3
Η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα. Να λύσετε την ανίσωση $f (x) < f (1)$ .
4
Να βρείτε το ολικό ελάχιστο της $f (x) = (x - 3)^{2} + 2$ .
5
Να βρείτε το ολικό μέγιστο της $f (x) = 5 - x^{2}$ .
6
Να αποδείξετε ότι η $f (x) = 2 x - 7$ είναι 1-1.
7
Η $f$ είναι 1-1 και ισχύει $f (2 x - 1) = f (x + 3)$ . Να βρείτε το $x$ .
8
Να βρείτε την αντίστροφη της $f (x) = 3 x - 6$ .
9
Να βρείτε την αντίστροφη της $f (x) = \frac{x - 1}{2}$ .
10
Δίνεται η γνησίως αύξουσα $f (x) = 2 x - 3$ . Να λύσετε την εξίσωση $f^{- 1} (x) = f (x)$ .

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3} + x

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

f

είναι γνησίως αύξουσα. Να λύσετε την ανίσωση

f (x^{2} - 1) < f (3)

Να αποδείξετε ότι η

f (x) = x^{3} + 2

είναι 1-1.

Να βρείτε την αντίστροφη της

f (x) = x^{3} - 1

Να βρείτε το ολικό ελάχιστο της

f (x) = x^{2} - 4 x + 7

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Δίνεται

f (x) = x^{5} + x^{3} + x

. Να δείξετε ότι είναι 1-1 και να λύσετε την

f (x) = 0

Να βρείτε την αντίστροφη της

f (x) = \frac{x + 1}{x - 2}

x \neq = 2

Δίνεται η γνησίως αύξουσα

f (x) = x^{3} + x

. Να λύσετε την εξίσωση

f^{- 1} (x) = f (x)

f

είναι 1-1 και ισχύει

f (x^{2} - x) = f (2)

. Να βρείτε το

x

f

είναι γνησίως φθίνουσα. Να λύσετε την ανίσωση

f (x^{2} - 2 x) > f (3)

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + x

α) Να αποδείξετε ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

β) Να εξηγήσετε γιατί η

f

είναι 1-1.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) > 2

ε) Να βρείτε το

f^{- 1} (2)

Θ2

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}

, με

x \neq = - 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f

β) Να δείξετε ότι

f (x) = 2 - \frac{3}{x + 1}

γ) Να βρείτε την αντίστροφη

f^{- 1}

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 1

ε) Να εξηγήσετε γιατί η

f

δεν παίρνει ποτέ την τιμή 2.

Θ3

Η συνάρτηση

f

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και ισχύει

f (1) = 0

α) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 0

β) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) > 0

γ) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) < 0

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x^{2} - 3) = 0

ε) Να λύσετε την ανίσωση

f (x^{2}) > f (2 x - 1)

Θ4

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x - 1

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f

β) Να αποδείξετε ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Να εξηγήσετε γιατί η

f

είναι 1-1.

δ) Να βρείτε την αντίστροφη

f^{- 1}

και το πεδίο ορισμού της.

ε) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 2

Θ5

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{2} - 6 x + 5

α) Να γράψετε την

f

στη μορφή

(x - a)^{2} + b

β) Να βρείτε το ολικό ελάχιστο της

f

γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της

f

δ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 0

ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της

f

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.3 Μονότονες & Αντίστροφη

Ύλη: §1.3Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Σωστό ή Λάθος: κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1.

β) Πότε ορίζεται η αντίστροφη

f^{- 1}

;

ΘΕΜΑ Β

α) Να αποδείξετε ότι η

f (x) = 3 x + 1

είναι 1-1.

β) Να βρείτε την αντίστροφη της

f (x) = 2 x - 4

📝 Συνολικό Διαγώνισμα — Συναρτήσεις

Ύλη: §1.1–§1.3Διάρκεια: 2 ώρες

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται 1-1;

β) Σωστό ή Λάθος: κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση είναι 1-1.

γ) Σωστό ή Λάθος: ισχύει

x^{2} = x

για κάθε πραγματικό

x

δ) Πότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση

f^{- 1}

;

ε) Να συμπληρώσετε τον τύπο της σύνθεσης:

(g \circ f) (x) =

...

ΘΕΜΑ Β

Να απαντήσετε στα παρακάτω.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

f (x) = x - 2

β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

g (x) = \frac{1}{x ^{2} - 9}

γ) Να λύσετε την ανίσωση

∣ x - 2∣ < 3

δ) Αν

f (x) = x^{2}

και

g (x) = x - 1

, να βρείτε την

(f \circ g) (x)

ΘΕΜΑ Γ

Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) = 2 x + 1

και

g (x) = x^{2} - 1

α) Να βρείτε την

(f \circ g) (x)

β) Να βρείτε την

(g \circ f) (x)

γ) Να αποδείξετε ότι η

f

είναι 1-1.

δ) Να βρείτε την αντίστροφη

f^{- 1}

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + x

α) Να αποδείξετε ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ.

β) Να εξηγήσετε γιατί η

f

είναι 1-1.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 2

δ) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) \leq 2

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

ƒ Quiz · Συναρτήσεις στην Ανάλυση

← Προηγούμενο

1.2 Συναρτήσεις

Επόμενο →

1.4 Όριο Συνάρτησης στο x₀