Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.4 Όριο Συνάρτησης στο x₀

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.4 Όριο Συνάρτησης στο x₀ ∈ ℝ

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🎯Η έννοια του ορίου

•
Η έννοια του ορίου γεννήθηκε για να απαντηθούν ερωτήματα όπως: τι είναι η στιγμιαία ταχύτητα, η εφαπτομένη μιας καμπύλης, το εμβαδόν ενός μικτόγραμμου χωρίου.
•
Όταν οι τιμές της $f$ προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν αριθμό ℓ, καθώς το $x$ προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο το $x_{0}$ (με $x$ ≠ $x_{0}$ ), γράφουμε $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ . Π.χ. για την $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1$ (με $x \neq = 1$ ) ισχύει $x \to 1 lim f (x) = 2$ , αν και η $f$ δεν ορίζεται στο 1.
▶️ Σύρε το x προς το 1 — δες το f(x) να πλησιάζει το 2, παρότι υπάρχει «τρύπα» στο σημείο.
f(x) = (x² − 1)/(x − 1)
x = -0.60 (αριστερά) · f(x) = 0.40 · σύρε το x προς το x₀
αριστερό = δεξιό όριο = 2 → το όριο στο 1 είναι 2 (αν και η f δεν ορίζεται εκεί).

🔍Το όριο αφορά την προσέγγιση, όχι την τιμή στο σημείο

•
Για να αναζητήσουμε το όριο στο $x_{0}$ , αρκεί η $f$ να ορίζεται «όσο θέλουμε κοντά στο $x_{0}$ » — σε σύνολο της μορφής (α, $x_{0}$ ) ∪ ( $x_{0}$ , β) ή (α, $x_{0}$ ) ή ( $x_{0}$ , β).
•
Το $x_{0}$ μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$ ή ΟΧΙ. Και όταν υπάρχει η τιμή $f (x_{0})$ , μπορεί να είναι ίση ή διαφορετική από το όριο.
❓ Γιατί:Το όριο μετράει πού «τείνει» η $f$ κοντά στο $x_{0}$ , αγνοώντας εντελώς την τιμή της ΣΤΟ $x_{0}$ . Γι’ αυτό μια «τρύπα» στη γραφική δεν εμποδίζει την ύπαρξη ορίου.

↔️Πλευρικά όρια

•
Αριστερό όριο $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = ℓ_{1}$ : οι τιμές της $f$ καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_{0}$ από μικρότερες τιμές $(x < x_{0})$ .
•
Δεξιό όριο $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = ℓ_{2}$ : καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_{0}$ από μεγαλύτερες τιμές $(x > x_{0})$ .
•
Βασική σχέση: $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ αν και μόνο αν $x \to x_{0}^{-} lim f (x) = x \to x_{0}^{+} lim f (x) = ℓ$ . Π.χ. η $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ δεν έχει όριο στο 0 (αριστερό όριο $- 1$ , δεξιό όριο $1$ ).
▶️ Σύρε το x από αριστερά και από δεξιά του 0 — τα πλευρικά όρια διαφέρουν, άρα δεν υπάρχει όριο.
f(x) = |x| / x
x = -1.60 (αριστερά) · f(x) = -1.00 · σύρε το x προς το x₀
αριστερό όριο = -1, δεξιό = 1 → διαφέρουν → δεν υπάρχει όριο στο 0.
❓ Γιατί:Το όριο υπάρχει ΜΟΝΟ όταν τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν ΚΑΙ είναι ίσα. Αν διαφέρουν, το όριο δεν υπάρχει.

📐Ο αυστηρός ορισμός (ε - δ)

•
Έστω $f$ ορισμένη σε σύνολο της μορφής (α, $x_{0}$ ) ∪ ( $x_{0}$ , β). Λέμε ότι $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ$ όταν: για κάθε $ε > 0$ υπάρχει $δ > 0$ ώστε για κάθε $x$ με $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ να ισχύει $∣ f (x) - ℓ ∣ < ε$ .
•
Με λόγια: όσο μικρό «παράθυρο» ε γύρω από το ℓ κι αν ζητήσουμε, μπορούμε να βρούμε «παράθυρο» δ γύρω από το $x_{0}$ ώστε όλες οι τιμές $f (x)$ να πέφτουν μέσα στο ε.
❓ Γιατί:Αν μια συνάρτηση έχει όριο στο $x_{0}$ , τότε αυτό είναι μοναδικό. Επίσης ισχύει $x \to x_{0} lim f (x) = ℓ ⟺ x \to x_{0} lim (f (x) - ℓ) = 0 ⟺ h \to 0 lim f (x_{0} + h) = ℓ$ .

🧱Όριο ταυτοτικής & σταθερής συνάρτησης

•
Ταυτοτική συνάρτηση — το όριο ισούται με την τιμή στο σημείο: $x \to x_{0} lim x = x_{0}$
•
Σταθερή συνάρτηση — το όριο ισούται με τη σταθερά: $x \to x_{0} lim c = c$
•
Π.χ. $x \to 3 lim x = 3$ και $x \to 3 lim 5 = 5$ .

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

Για να έχει η

f

όριο στο

x_{0}

, πρέπει οπωσδήποτε η

f

να ορίζεται στο

x_{0}

2Σωστό / Λάθος

Αν

x \to x_{0}^{-} lim f (x) = x \to x_{0}^{+} lim f (x) = ℓ

, τότε

x \to x_{0} lim f (x) = ℓ

3Πολλαπλής επιλογής

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

στο

x_{0} = 0

4Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

;

5Πολλαπλής επιλογής

Πόσο είναι το

x \to 3 lim x

;

6Σωστό / Λάθος

Η τιμή

f (x_{0})

, όταν υπάρχει, είναι πάντα ίση με το όριο της

f

στο

x_{0}

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Εύκολοlg-1.4-e2
Πόσο είναι το $x \to 2 lim 7$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρόκειται για τη σταθερή συνάρτηση $f (x) = 7$ .
2. 2
  Το όριο σταθερής συνάρτησης είναι η ίδια η σταθερά.
3. 3
  Άρα $x \to 2 lim 7 = 7$ .
2Μεσαίοlg-1.4-m1
Να δείξετε ότι η $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ δεν έχει όριο στο $x_{0} = 0$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $x < 0$ είναι $∣ x ∣ = - x$ , άρα $f (x) = \frac{- x}{x} = - 1$ , οπότε $x \to 0^{-} lim f (x) = - 1$ .
2. 2
  Για $x > 0$ είναι $∣ x ∣ = x$ , άρα $f (x) = \frac{x}{x} = 1$ , οπότε $x \to 0^{+} lim f (x) = 1$ .
3. 3
  Τα πλευρικά όρια διαφέρουν, άρα δεν υπάρχει το $x \to 0 lim f (x)$ .
3Μεσαίοlg-1.4-m3
Δίνεται η $f (x) = x + 1$ για $x < 2$ και $f (x) = 3 x - 3$ για $x \geq 2$ . Να εξετάσετε αν υπάρχει το $x \to 2 lim f (x)$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Αριστερό όριο: $x \to 2^{-} lim f (x) = x \to 2 lim (x + 1) = 3$ .
2. 2
  Δεξιό όριο: $x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2 lim (3 x - 3) = 3$ .
3. 3
  Τα πλευρικά όρια είναι ίσα, άρα υπάρχει το όριο και $x \to 2 lim f (x) = 3$ .
4Μεσαίοlg-1.4-m2
Να βρείτε το $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ .
Λύση βήμα-βήμα
📚 Σχετική θεωρία:
1. 1
  Για $x \neq = 3$ ισχύει $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3$ .
2. 2
  Άρα $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$ .
5Εύκολοlg-1.4-e3
Να βρείτε το $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για $x \neq = 1$ ισχύει $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1$ .
2. 2
  Άρα $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 1) = 2$ .
6Εύκολοlg-1.4-e1
Πόσο είναι το $x \to 4 lim x$ ;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Πρόκειται για την ταυτοτική συνάρτηση $f (x) = x$ .
2. 2
  Το όριό της στο $x_{0}$ είναι ίσο με $x_{0}$ .
3. 3
  Άρα $x \to 4 lim x = 4$ .

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Μεσαίοlg-1.4-m1
Να δείξετε ότι η $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ δεν έχει όριο στο $x_{0} = 0$ .
2Μεσαίοlg-1.4-m2
Να βρείτε το $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ .
3Μεσαίοlg-1.4-m3
Δίνεται η $f (x) = x + 1$ για $x < 2$ και $f (x) = 3 x - 3$ για $x \geq 2$ . Να εξετάσετε αν υπάρχει το $x \to 2 lim f (x)$ .
4Δύσκολοlg-1.4-h1
Δίνεται η $f (x) = x^{2} + 1$ για $x < 1$ και $f (x) = α x$ για $x > 1$ . Για ποια τιμή του α υπάρχει το $x \to 1 lim f (x)$ ;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν δίνεται η γραφική παράσταση και ζητείται το

x \to x_{0} lim f (x)

ή τα πλευρικά όρια.

Βήματα

1Αριστερό όριο $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ : σε ποιο ύψος τείνει η καμπύλη καθώς πλησιάζεις το $x_{0}$ από αριστερά.
2Δεξιό όριο $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ : το ύψος καθώς πλησιάζεις από δεξιά.
3Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά είναι ίσα — η τιμή ΣΤΟ $x_{0}$ αγνοείται.

Παράδειγμα

Αν από αριστερά και από δεξιά η καμπύλη τείνει στο

2

, τότε

x \to x_{0} lim f (x) = 2

, ακόμη κι αν

f (x_{0}) = 5

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Δίνεται $f (x) = x + 3$ για $x < 1$ και $f (x) = 2 x + 2$ για $x \geq 1$ . Να βρείτε τα πλευρικά όρια στο $1$ .
2
Δίνεται $f (x) = x^{2}$ για $x < 0$ και $f (x) = x + 1$ για $x \geq 0$ . Υπάρχει το $x \to 0 lim f (x)$ ;
3
Να εξετάσετε αν υπάρχει το $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}$ .
4
Δίνεται $f (x) = x + α$ για $x < 2$ και $f (x) = 3 x$ για $x \geq 2$ . Για ποια τιμή του α υπάρχει το $x \to 2 lim f (x)$ ;
5
Το αριστερό και το δεξιό όριο στο $2$ είναι και τα δύο $3$ , ενώ $f (2) = 7$ . Πόσο είναι το $x \to 2 lim f (x)$ ;
6
Δίνεται $f (x) = 5$ για $x < 3$ και $f (x) = 5$ για $x \geq 3$ . Πόσο είναι το $x \to 3 lim f (x)$ ;
7
Να εξετάσετε αν υπάρχει το $x \to 2 lim \frac{∣ x - 2∣}{x - 2}$ .
8
Δίνεται $f (x) = 2 x - 1$ για $x < 1$ και $f (x) = x^{2} + β$ για $x \geq 1$ . Για ποια τιμή του β υπάρχει το $x \to 1 lim f (x)$ ;
9
Δίνεται $f (x) = x^{2} - 1$ για $x \leq 0$ και $f (x) = x - 1$ για $x > 0$ . Πόσο είναι το $x \to 0 lim f (x)$ ;
10
Σωστό ή Λάθος: «Αν $f (x_{0}) = 4$ , τότε αναγκαστικά $x \to x_{0} lim f (x) = 4$ .»

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Δίνεται

f (x) = x^{2} + 1

για

x < 1

και

f (x) = 2 x

για

x \geq 1

. Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 1 lim f (x)

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 3 lim \frac{∣ x - 3∣}{x - 3}

Δίνεται

f (x) = x + α

για

x < 2

και

f (x) = x^{2}

για

x \geq 2

. Για ποια τιμή του α υπάρχει το

x \to 2 lim f (x)

;

Δίνεται

f (x) = x + 1

για

x < 1

και

f (x) = 3

για

x \geq 1

. Υπάρχει το

x \to 1 lim f (x)

;

Από τη γραφική παράσταση, το αριστερό και το δεξιό όριο της

f

στο

2

είναι και τα δύο

4

, ενώ

f (2) = 1

. Πόσο είναι το

x \to 2 lim f (x)

;

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 0 lim \frac{x ^{2} - x}{∣ x ∣}

Δίνεται

f (x) = α x + 3

για

x < 2

και

f (x) = x^{2} - 1

για

x \geq 2

. Για ποια τιμή του α υπάρχει το

x \to 2 lim f (x)

;

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{∣ x - 2∣}

Δίνεται

f (x) = x^{2} + α x

για

x < 1

και

f (x) = β x - 1

για

x \geq 1

. Να βρείτε τα α, β ώστε

x \to 1 lim f (x) = 2

Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 1 lim \frac{( x + 1 ) ∣ x - 1∣}{x - 1}

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται

f (x) = x^{2} + 1

για

x \leq 1

και

f (x) = 2 x + α

για

x > 1

α) Να βρείτε το αριστερό όριο της

f

στο

1

β) Να βρείτε το δεξιό όριο της

f

στο

1

(συναρτήσει του α).

γ) Για ποια τιμή του α υπάρχει το

x \to 1 lim f (x)

;

δ) Για

α = 0

, να βρείτε το

x \to 1 lim f (x)

ε) Να βρείτε το

f (1)

και να συγκρίνετε με το όριο.

Θ2

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{∣ x - 3∣}{x - 3}

, με

x \neq = 3

α) Να γράψετε την

f

χωρίς απόλυτη τιμή (κλαδικά).

β) Να βρείτε το δεξιό όριο της

f

στο

3

γ) Να βρείτε το αριστερό όριο της

f

στο

3

δ) Υπάρχει το

x \to 3 lim f (x)

;

ε) Να βρείτε το

x \to 5 lim f (x)

Θ3

Δίνεται

f (x) = α x + 2

για

x < 1

και

f (x) = x^{2} + β

για

x \geq 1

α) Να βρείτε το αριστερό όριο της

f

στο

1

β) Να βρείτε το δεξιό όριο της

f

στο

1

γ) Να βρείτε τη σχέση των α, β ώστε να υπάρχει το όριο στο

1

δ) Αν

α = 2

, να βρείτε το β και το

x \to 1 lim f (x)

ε) Με

α = 2

β = 3

, να βρείτε το

f (1)

Θ4

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

για

x \neq = 2

και

f (2) = κ

α) Για

x \neq = 2

, να απλοποιήσετε την

f

β) Να βρείτε το

x \to 2 lim f (x)

γ) Για ποια τιμή του κ ισχύει

x \to 2 lim f (x) = f (2)

;

δ) Να βρείτε το

x \to 0 lim f (x)

ε) Να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 5

(για

x \neq = 2

Θ5

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = ∣ x ∣ + ∣ x - 2∣

α) Να γράψετε την

f

κλαδικά.

β) Να βρείτε το

x \to 0 lim f (x)

γ) Να βρείτε το

x \to 2 lim f (x)

δ) Να βρείτε το

x \to 3 lim f (x)

ε) Να εξετάσετε αν

x \to 0 lim f (x) = f (0)

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.4 Όριο στο x₀

Ύλη: §1.4Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε υπάρχει το

x \to x_{0} lim f (x)

;

β) Σωστό ή Λάθος: αν

f (x_{0}) = 3

, τότε αναγκαστικά

x \to x_{0} lim f (x) = 3

ΘΕΜΑ Β

α) Δίνεται

f (x) = x + 1

για

x < 2

και

f (x) = 2 x - 1

για

x \geq 2

. Υπάρχει το

x \to 2 lim f (x)

;

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει το

x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x}

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∞ Quiz · Όρια

← Προηγούμενο

1.3 Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση

Επόμενο →

1.5 Ιδιότητες των Ορίων