Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης›1.8 Συνέχεια Συνάρτησης

📖Θεωρία

Αναλυτική εξήγηση των εννοιών της παραγράφου

Γ΄ Λυκείου · Κεφ. 1 - Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης

§1.8 Συνέχεια Συνάρτησης

📖 Θεωρία 🎯 Θέμα Α 💡 Λυμένες ✏️ Προς λύση 🧩 Μέθοδοι 📝 Φυλλάδιο 🚀 Πάμε παρακάτω 📝 Διαγώνισμα

🔗Ορισμός της συνέχειας

•
Η $f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$ (σημείο του πεδίου ορισμού της) όταν το όριο ισούται με την τιμή: $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$
•
Η $f$ ΔΕΝ είναι συνεχής στο $x_{0}$ όταν: (α) δεν υπάρχει το όριό της στο $x_{0}$ , ή (β) υπάρχει το όριο αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή $f (x_{0})$ . Π.χ. η $f$ με $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ για $x \neq = 1$ και $f (1) = 3$ είναι ασυνεχής στο 1: το όριο είναι $2 \neq = 3 = f (1)$ .
•
Συνεχής συνάρτηση λέγεται αυτή που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της.

✅Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς

•
Συνεχείς σε όλο το πεδίο ορισμού τους: οι πολυωνυμικές, οι ρητές, οι $ημ x$ και $συν x$ , η εκθετική $α^{x}$ και η λογαριθμική $lo g_{α} x$ .
•
Πράξεις: αν οι $f$ , $g$ είναι συνεχείς στο $x_{0}$ , τότε είναι συνεχείς και οι $f \pm g$ , $f \cdot g$ , $\frac{f}{g}$ (με $g (x_{0}) \neq = 0$ ), $∣ f ∣$ , $k f$ . Συνεχής είναι και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων.

📏Συνέχεια σε διάστημα

•
Η $f$ είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του.
•
Η $f$ είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα [α, β] όταν είναι συνεχής στο (α, β) και επιπλέον $x \to α^{+} lim f (x) = f (α)$ και $x \to β^{-} lim f (x) = f (β)$ .

🎯Θεώρημα Bolzano

•
Αν η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό [α, β] και ισχύει $f (α) \cdot f (β) < 0$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $x_{0} \in (α, β)$ με $f (x_{0}) = 0$ — δηλαδή η εξίσωση $f (x) = 0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).
▶️ Διάλεξε συνάρτηση και σύρε το σημείο ελέγχου — το πρόσημο αλλάζει από − σε +, άρα υπάρχει ρίζα.
f(α) = -1.00 (<0) · f(β) = 5.00 (>0) · σημείο ελέγχου f(1.00) = -1.00 (−)
Συνεχής f στο [α, β] με f(α)·f(β) < 0 → η γραφική τέμνει τον άξονα: υπάρχει ρίζα x₀ ∈ (α, β) με f(x₀)=0.
•
Συνέπεια: μια συνεχής συνάρτηση που δε μηδενίζεται σε ένα διάστημα διατηρεί σταθερό πρόσημο εκεί.
▶️ Διάλεξε συνάρτηση και σύρε τον δοκιμαστικό αριθμό — δες πού η f είναι θετική (πράσινο) ή αρνητική (κόκκινο) ανάμεσα στις ρίζες.
f(0) = -4.00 < 0 → στο υποδιάστημα του 0 η f είναι αρνητική (−).
Πρόσημο:(−∞, −2): +(−2, 2): −(2, +∞): +
❓ Γιατί:Έτσι βρίσκουμε το πρόσημο μιας συνεχούς $f$ : υπολογίζουμε τις ρίζες της, και σε κάθε υποδιάστημα που ορίζουν δοκιμάζουμε έναν αριθμό — το πρόσημό του ισχύει σε όλο το υποδιάστημα.

⛰️Ενδιάμεσων τιμών & Μέγιστης-Ελάχιστης

•
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (γενίκευση του Bolzano): αν η $f$ είναι συνεχής στο [α, β] με $f (α) \neq = f (β)$ , τότε για κάθε τιμή η ανάμεσα στα $f (α)$ , $f (β)$ υπάρχει $x_{0}$ ∈ (α, β) με $f (x_{0}) =$ η.
•
Θεώρημα μέγιστης & ελάχιστης τιμής: αν η $f$ είναι συνεχής στο [α, β], τότε παίρνει μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή $m$ . Το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα [ $m$ , $M$ ]. Π.χ. η $f (x) = ημ x$ , $x \in [0, 2 π]$ , είναι συνεχής με $m = - 1$ και $M = 1$ , άρα σύνολο τιμών [−1, 1].

🎯Θέμα Α — έλεγχος θεωρίας

1Σωστό / Λάθος

f

είναι συνεχής στο

x_{0}

όταν

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})

2Πολλαπλής επιλογής

Το θεώρημα Bolzano εγγυάται ρίζα όταν η

f

είναι συνεχής στο [α, β] και:

3Πολλαπλής επιλογής

Ποια από τις παρακάτω είναι συνεχής σε όλο το ℝ;

4Σωστό / Λάθος

Αν μια συνεχής

f

δε μηδενίζεται σε ένα διάστημα, διατηρεί σταθερό πρόσημο εκεί.

5Πολλαπλής επιλογής

Αν η

f

είναι συνεχής στο [α, β], το σύνολο τιμών της είναι:

6Πολλαπλής επιλογής

f

με

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

για

x \neq = 1

και

f (1) = 3

στο

x_{0} = 1

είναι:

💡Λυμένες ασκήσεις βήμα-βήμα

Δες πώς εφαρμόζεται η θεωρία — κάθε βήμα δείχνει την έννοια που χρησιμοποιείται.

1Μεσαίοlg-1.8-m2
Για ποια τιμή του α είναι η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{ημ x}{x}$ για $x \neq = 0$ και $f (0) = α$ , συνεχής στο 0;
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Για να είναι συνεχής στο 0 πρέπει $x \to 0 lim f (x) = f (0)$ .
2. 2
  Είναι $x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} = 1$ , ενώ $f (0) = α$ .
3. 3
  Άρα πρέπει $α = 1$ .
2Μεσαίοlg-1.8-m1
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x^{3} + x - 1 = 0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(0, 1)$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Έστω $f (x) = x^{3} + x - 1$ , συνεχής (πολυωνυμική) στο $[0, 1]$ .
2. 2
  Είναι $f (0) = - 1 < 0$ και $f (1) = 1 > 0$ , άρα $f (0) \cdot f (1) < 0$ .
3. 3
  Από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_{0} \in (0, 1)$ με $f (x_{0}) = 0$ .
3Εύκολοlg-1.8-e1
Να εξετάσετε αν η $f (x) = x^{2} + 1$ είναι συνεχής στο $x_{0} = 2$ .
Λύση βήμα-βήμα
1. 1
  Η $f$ είναι πολυωνυμική, άρα $x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$ .
2. 2
  Επίσης $f (2) = 5$ .
3. 3
  Αφού $x \to 2 lim f (x) = f (2)$ , η $f$ είναι συνεχής στο 2.

✏️Προτεινόμενες προς λύση

Δοκίμασε μόνος σου — η λύση εμφανίζεται όταν την ζητήσεις.

1Δύσκολοlg-1.8-h1
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x + συν x = 4$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(π, 2 π)$ .
2Μεσαίοlg-1.8-m1
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $x^{3} + x - 1 = 0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(0, 1)$ .
3Μεσαίοlg-1.8-m2
Για ποια τιμή του α είναι η συνάρτηση $f$ , με $f (x) = \frac{ημ x}{x}$ για $x \neq = 0$ και $f (0) = α$ , συνεχής στο 0;

🧩Μεθοδολογίες — πώς λύνω κάθε τύπο

Πάτα κάθε μέθοδο για να δεις πότε εφαρμόζεται και τα βήματα.

Πότε

Όταν ζητείται αν η

f

είναι συνεχής σε σημείο

x_{0}

Βήματα

1Υπολόγισε το $x \to x_{0} lim f (x)$ (αν είναι κλαδική, και τα δύο πλευρικά όρια).
2Υπολόγισε την τιμή $f (x_{0})$ .
3Η $f$ είναι συνεχής στο $x_{0}$ αν και μόνο αν $x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0})$ .

Παράδειγμα

f

με

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

για

x \neq = 1

και

f (1) = 3

είναι ασυνεχής στο 1: το όριο είναι

2 \neq = 3

📝Φυλλάδιο εξάσκησης

📝 Φυλλάδιο — 10 ασκήσεις προς λύση

1
Δίνεται $f (x) = x^{2} + 1$ για $x < 2$ και $f (x) = 2 x + 1$ για $x \geq 2$ . Είναι συνεχής στο $2$ ;
2
Δίνεται $f (x) = x + α$ για $x < 1$ και $f (x) = 2 x$ για $x \geq 1$ . Για ποια τιμή του α είναι συνεχής στο $1$ ;
3
Να δείξετε ότι η εξίσωση $x^{3} + x - 3 = 0$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $(1, 2)$ .
4
Να βρείτε το πρόσημο της $f (x) = x^{2} - 4$ .
5
Ποιο είναι το σύνολο τιμών της $f (x) = συν x$ στο $[0, π]$ ;
6
Δίνεται $f (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ για $x \neq = 2$ και $f (2) = 1$ . Είναι συνεχής στο $2$ ;
7
Πόσες ρίζες έχει η $x^{5} + x + 1 = 0$ (η $f$ είναι γνησίως αύξουσα);
8
Σωστό ή Λάθος: κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το ℝ.
9
Δίνεται $f (x) = α x + 1$ για $x \leq 0$ και $f (x) = x^{2} + 1$ για $x > 0$ . Είναι συνεχής στο $0$ για κάθε α;
10
Η $f$ είναι συνεχής στο $[1, 4]$ με $f (1) = - 2$ και $f (4) = 5$ . Έχει ρίζα στο $(1, 4)$ ;

🚀Πάμε παρακάτω — ασκήσεις αυξημένης δυσκολίας

Προσπάθησε πρώτα μόνος σου — μετά άνοιξε την πλήρη λύση.

🔥Προχωρημένες5 ασκήσεις

Δίνεται

f (x) = x^{2} + 1

για

x < 2

και

f (x) = 2 x + 1

για

x \geq 2

. Είναι συνεχής στο

2

;

Δίνεται

f (x) = x + α

για

x < 1

και

f (x) = 2 x

για

x \geq 1

. Για ποια τιμή του α είναι συνεχής στο

1

;

Να δείξετε ότι η εξίσωση

x^{3} + x - 3 = 0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

(1, 2)

Να βρείτε το πρόσημο της

f (x) = x^{2} - 4

Ποιο είναι το σύνολο τιμών της

f (x) = συν x

στο

[0, π]

;

💎Πολύ δύσκολες5 ασκήσεις

Δίνεται

f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}

για

x \neq = 1

και

f (1) = α

. Για ποια τιμή του α είναι η

f

συνεχής στο

1

;

Να δείξετε ότι η εξίσωση

x^{5} + x + 1 = 0

έχει ακριβώς μία ρίζα.

Να βρείτε το πρόσημο της συνεχούς συνάρτησης

f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}

Δίνεται

f (x) = x^{2} + a

για

x < 1

και

f (x) = b x

για

x \geq 1

. Να βρείτε τα

a

b

ώστε η

f

να είναι συνεχής στο

1

και

f (1) = 3

Να δείξετε ότι η εξίσωση

συν x = x

έχει μία τουλάχιστον λύση στο

(0, \frac{π}{2})

🏛️Θέματα τύπου Πανελληνίων5 θέματα

Θ1

Δίνεται

f (x) = x^{2} + 1

για

x \leq 1

και

f (x) = 2 x + c

για

x > 1

α) Να βρείτε το

f (1)

β) Να βρείτε το αριστερό όριο της

f

στο

1

γ) Να βρείτε το δεξιό όριο της

f

στο

1

δ) Για ποιο

c

είναι η

f

συνεχής στο

1

;

ε) Για

c = 0

, είναι η

f

συνεχής σε όλο το ℝ;

Θ2

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + x - 1

α) Να εξηγήσετε γιατί η

f

είναι συνεχής.

β) Να υπολογίσετε τα

f (0)

και

f (1)

γ) Τι εξασφαλίζει το θεώρημα Bolzano;

δ) Να δείξετε ότι η

f

είναι γνησίως αύξουσα.

ε) Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση

f (x) = 0

;

Θ3

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{2} - x - 6

α) Να βρείτε τις ρίζες της

f

β) Να εξηγήσετε γιατί η

f

είναι συνεχής.

γ) Να βρείτε το πρόσημο της

f

στα διαστήματα που ορίζουν οι ρίζες.

δ) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) < 0

ε) Να λύσετε την ανίσωση

f (x) \geq 0

Θ4

Δίνεται

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x}

για

x \neq = 0

και

f (0) = k

α) Για

x \neq = 0

, να απλοποιήσετε την

f

β) Να βρείτε το

x \to 0 lim f (x)

γ) Για ποια τιμή του

k

είναι η

f

συνεχής στο

0

;

δ) Με

k = - 1

, να υπολογίσετε το

f (3)

ε) Με

k = - 1

, είναι η

f

συνεχής σε όλο το ℝ;

Θ5

Η συνάρτηση

f

είναι συνεχής στο

[0, 4]

με

f (0) = 1

και

f (4) = 9

α) Εγγυάται το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ότι η

f

παίρνει την τιμή

5

;

β) Εγγυάται ότι παίρνει την τιμή

0

;

γ) Αν επιπλέον η

f

είναι γνησίως αύξουσα, ποιο είναι το σύνολο τιμών της;

δ) Με την

f

γνησίως αύξουσα, να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 1

ε) Εγγυάται το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής ότι η

f

έχει μέγιστο και ελάχιστο;

📝Διαγωνίσματα

Δούλεψέ το σαν κανονικό διαγώνισμα — μετά άνοιξε τις πλήρεις λύσεις. Εκτυπώνεται καθαρό (χωρίς λύσεις).

📝 Mini-test — §1.8 Συνέχεια

Ύλη: §1.8Διάρκεια: 20΄

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

είναι συνεχής στο σημείο

x_{0}

;

β) Τι εξασφαλίζει το θεώρημα Bolzano;

ΘΕΜΑ Β

α) Δίνεται

f (x) = x^{2}

για

x < 1

και

f (x) = 2 x - 1

για

x \geq 1

. Είναι συνεχής στο

1

;

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση

x^{3} + x - 1 = 0

έχει ρίζα στο

(0, 1)

📝 Διαγώνισμα — Όρια & Συνέχεια

Ύλη: §1.4–§1.8Διάρκεια: 2 ώρες

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε μια συνάρτηση

f

λέγεται συνεχής στο σημείο

x_{0}

;

β) Σωστό ή Λάθος: αν τα δύο πλευρικά όρια στο

x_{0}

υπάρχουν και είναι ίσα, τότε υπάρχει το

x \to x_{0} lim f (x)

γ) Σωστό ή Λάθος: η μορφή

\frac{0}{0}

δίνει πάντα όριο ίσο με

0

δ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano.

ε) Να συμπληρώσετε την τιμή του ορίου

x \to 0 lim \frac{ημ x}{x}

ΘΕΜΑ Β

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια.

α)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}

β)

x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}

γ)

x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - 1}{x ^{2} + x}

δ)

x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{2} + α

για

x < 1

και

f (x) = β x + 1

για

x \geq 1

α) Να βρείτε το αριστερό και το δεξιό όριο της

f

στο

1

(συναρτήσει των α, β).

β) Να βρείτε τη σχέση των α, β ώστε η

f

να είναι συνεχής στο

1

γ) Αν

α = β = 2

, να βρείτε το

f (1)

δ) Με

α = β = 2

, να εξετάσετε αν η

f

είναι συνεχής σε όλο το ℝ.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + 2 x - 2

α) Να δείξετε ότι η

f

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ℝ.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση

f (x) = 0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

(0, 1)

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση

f (x) = 0

έχει ακριβώς μία ρίζα στο ℝ.

δ) Αν ρ είναι η ρίζα, να βρείτε το πρόσημο της

f

για

x < ρ

και για

x > ρ

📝 Συνολικό Διαγώνισμα — Κεφάλαιο 1 (Όριο – Συνέχεια)

Ύλη: §1.1–§1.8Διάρκεια: 3 ώρες

ΘΕΜΑ Α

α) Πότε υπάρχει το

x \to x_{0} lim f (x)

;

β) Σωστό ή Λάθος:

x \to 0 lim \frac{ημ x}{x} = 1

γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano.

δ) Σωστό ή Λάθος: αν η

f

είναι συνεχής στο

[α, β]

, τότε παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

ε) Για ρητή

\frac{P ( x )}{Q ( x )}

με

Q (x_{0}) \neq = 0

, να συμπληρώσετε:

x \to x_{0} lim \frac{P ( x )}{Q ( x )} =

...

ΘΕΜΑ Β

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια.

α)

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3}

β)

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{2} + 1}{x ^{2} - x}

γ)

x \to 2 lim \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}

δ)

x \to 0 lim \frac{ημ 3 x}{x}

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται

f (x) = \frac{x ^{2} - x}{x - 1}

για

x \neq = 1

και

f (1) = k

α) Για

x \neq = 1

, να απλοποιήσετε την

f

β) Να βρείτε το

x \to 1 lim f (x)

γ) Για ποια τιμή του

k

είναι η

f

συνεχής στο

1

;

δ) Με

k = 1

, να λύσετε την εξίσωση

f (x) = 3

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

f (x) = x^{3} + 2 x - 1

α) Να αποδείξετε ότι η

f

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ℝ.

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση

f (x) = 0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο

(0, 1)

γ) Να δείξετε ότι η ρίζα είναι μοναδική.

δ) Αν ρ η ρίζα, να βρείτε το πρόσημο της

f

Πηγή: Σχολικό βιβλίο (ΙΤΥΕ «Διόφαντος») + μεθοδολογία/ασκήσεις βασισμένες σε ΙΕΠ & Πανελλήνιες

🧠 Τεστάρισε την έννοια

Quiz με άμεσο feedback — μετράει στην εικόνα δεξιοτήτων σου.

∿ Quiz · Συνέχεια

← Προηγούμενο

1.7 Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο